Convergenza uniforme successione di funzioni

[frenk1994]

ciao a tutti!! mi rendo conto che potra' essere una domanda banale...ma perche' non posso avere una successione di funzioni $f_n(x)$ che converge uniformemente a una f(x) illimitata su un intervallo A?

[Epimenide93]

Senza ulteriori ipotesi quanto riporti è falso. Prendi come controesempio la successione costante \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) con \(f_n (x) = f(x)\) per ogni \(n\).

[frenk1994]

tipo in questo esrcizio nella soluzione finale mi dice proprio questo,cioe non capisco perche si pone questa condizione quando si parla di convergenza uniforme,se io ho $f_n(x)=1/x+1/n$ questa converge puntualmente a $f(x)=1/x$ giusto? se io faccio $|f(x)-f_n(x)|$ e poi $\lim_{n \to \infty}$ viene zero quindi la convergenza dovrebbe essere uniforme o sbaglio qualcosa?

[Epimenide93]

"frenk1994":se io faccio $|f(x)-f_n(x)|$ e poi $\lim_{n \to \infty}$ viene zero quindi la convergenza dovrebbe essere uniforme o sbaglio qualcosa?

Sbagli qualcosa. Che definizione hai di convergenza uniforme?

[frenk1994]

sui miei appunti c'e' scritto che la successione ${f_n}_(n>=n_0)$ converge uniformemente in A alla funzione limite f se $\lim_{n \to \infty} "sup"|f_n(x)-f(x)|=0$ nel caso che ti ho detto prima $1/n$ non è l'estremo superiore?

[frenk1994]

quel simbolo prima del modulo doveva essere sup

[ostrogoto1]

Nota che nel caso dell'immagine che Frenk1994 ha unito a un suo precedente messaggio, non si ha convergenza uniforme perche' c'e' un teorema per il quale se le $ f_n(x) $ sono limitate e la successione converge uniformemente allora la funzione limite e' limitata.

[frenk1994]

ostrogoto:ma le $f_n(x)$ in quell'esercizio sono limitate?

[ostrogoto1]

Si'!!
Se fosse $ f_n(x)=1/sqrt(x) $ allora per $ xrarr0 $ ci sarebbe divergenza a $ +oo $. Invece
$ f_n(x)=sqrt(n) $ per $ 0 rende $ f_n(x) $ costante (pari a $ sqrt(n) $) proprio nell'intorno di 0 e quindi evita il problema. E questo accade $ AAninmathbb(N) $. Dunque $ f_n(x) $ e' limitata!

[frenk1994]

ok e' vero grazie ostrogoto! sul mio libro però non c'è sto teorema,riguardo alla convergenza uniforme delle successioni di funzioni c'e' la stessa formulazione di quello che hai citato tu ma riguardo le funzioni continue,poi scambio di limite e integrale,e scambio limite-derivata,devo dedurlo da uno di questi?

[ostrogoto1]

Il teorema che ho citato deriva direttamente dalla definizione di limitatezza e conv. unif., questione di una riga di dimostrazione.
teoremaSia $ {f_n} $ una successione di funzioni limitate convergente uniformemente a f su X. Allora f e' limitata.
Dim
Per ipotesi
$ AAninmathbb(N)" "EE C_n : |f_n(x)|<=C_n AAx\inX$
Dalla def di conv. unif. per $ epsilon=1" "EEN_0: AAn>=N_0" "Sup|f_n(x)-f(x)|<1 $
quindi
$ AAx\inX" "|f(x)|<=|f(x)-f_(N_0)(x)|+|f_(N_0)(x)|<=1+C_(N_0) $
qed