Convergenza uniforme successione di funzioni
Considero la successione di funzioni definita da $f_n(x)=(1+x^(2n))^(1/n)$, $x\inRR$, $n\inNN$.
Devo studiarne la convergenza puntuale e uniforme.
Innanzitutto studio la convergenza puntuale.
Se $|x|<1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n)=\lim_{n \to \infty}e^(log(1+x^(2n))/n)=e^0=1$.
Se $|x|=1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(1+1)^(1/n)=1$
Se $|x|>1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n)=\lim_{n \to \infty}e^(log(1+x^(2n))/n)=\lim_{n \to \infty}e^(x^(2n)log(x^2)/(1+x^(2n)))=\lim_{n \to \infty}e^(log(x^2)/(1/x^(2n)+1))=e^(log(x^2))=x^2$.
Dunque la funzione limite è $f(x)={(1,if |x|<=1),(x^2,if |x|>1):}$ e si ha convergenza puntuale su tutto $RR$.
Studio ora la convergenza uniforme.
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[-1,1])|(1+x^(2n))^(1/n)-1|=?$
Provo dunque a calcolare la derivata dell'espressione di cui devo calcolare il $"sup"$: $d/(dx)((1+x^(2n))^(1/n)-1)=(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)$ e questa si annulla in $x=0$ che è punto di minimo. Allora il $"sup"$ si ottiene per $x=1$ (o equivalentemente per $x=-1$) e si ha $?=\lim_{n \to \infty}2^(1/n)-1=0$ e dunque si ha convergenza uniforme su $[-1,1]$.
So inoltre che non c'è convergenza uniforme su alcun intorno di $oo$ in quanto $\lim_{x \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n)=oo$ (quindi nemmeno su alcun intorno di $-oo$ in quanto $f_n$ è pari) e mi chiedo dunque se ci può essere convergenza uniforme su $[1,M]$ con $M>1$ fissato.
Devo calcolare $\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[1,M])|(1+x^(2n))^(1/n)-x^2|$ e dunque ne studio la derivata prima $d/(dx)((1+x^(2n))^(1/n)-x^2)=2x[(1+x^2n)^(1/n-1)x^(2n-2)-1]$...cerco i punti che annullano la derivata e trovo sicuramente $x=0$ ma poi come trovo le "radici" della parentesi quadra?
Devo studiarne la convergenza puntuale e uniforme.
Innanzitutto studio la convergenza puntuale.
Se $|x|<1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n)=\lim_{n \to \infty}e^(log(1+x^(2n))/n)=e^0=1$.
Se $|x|=1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(1+1)^(1/n)=1$
Se $|x|>1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n)=\lim_{n \to \infty}e^(log(1+x^(2n))/n)=\lim_{n \to \infty}e^(x^(2n)log(x^2)/(1+x^(2n)))=\lim_{n \to \infty}e^(log(x^2)/(1/x^(2n)+1))=e^(log(x^2))=x^2$.
Dunque la funzione limite è $f(x)={(1,if |x|<=1),(x^2,if |x|>1):}$ e si ha convergenza puntuale su tutto $RR$.
Studio ora la convergenza uniforme.
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[-1,1])|(1+x^(2n))^(1/n)-1|=?$
Provo dunque a calcolare la derivata dell'espressione di cui devo calcolare il $"sup"$: $d/(dx)((1+x^(2n))^(1/n)-1)=(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)$ e questa si annulla in $x=0$ che è punto di minimo. Allora il $"sup"$ si ottiene per $x=1$ (o equivalentemente per $x=-1$) e si ha $?=\lim_{n \to \infty}2^(1/n)-1=0$ e dunque si ha convergenza uniforme su $[-1,1]$.
So inoltre che non c'è convergenza uniforme su alcun intorno di $oo$ in quanto $\lim_{x \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n)=oo$ (quindi nemmeno su alcun intorno di $-oo$ in quanto $f_n$ è pari) e mi chiedo dunque se ci può essere convergenza uniforme su $[1,M]$ con $M>1$ fissato.
Devo calcolare $\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[1,M])|(1+x^(2n))^(1/n)-x^2|$ e dunque ne studio la derivata prima $d/(dx)((1+x^(2n))^(1/n)-x^2)=2x[(1+x^2n)^(1/n-1)x^(2n-2)-1]$...cerco i punti che annullano la derivata e trovo sicuramente $x=0$ ma poi come trovo le "radici" della parentesi quadra?
Risposte
Innanzitutto, nota che il calcolo del limite per \(|x|>1\) può essere semplificato di molto, perchè:
\[
f_n(x) =x^2\ \left( 1+\frac{1}{x^{2n}}\right)^{1/n}
\]
ed il secondo fattore tende a \(1\) per \(n\to \infty\).
Ora, visto che \(f_n(x)\geq f(x)\) per ogni \(x\), hai:
\[
\phi_n(x) := |f_n(x)-f(x)| = \begin{cases} (1+x^{2n})^{1/n} -1 &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\
(1+x^{2n})^{1/n} -x^2 &\text{, se } x\leq -1 \text{ o } x\geq 1
\end{cases}
\]
e \(\phi_n\) è una funzione pari, quindi basta vedere cosa le accade limitatamente alle \(x\geq 0\)
Hai:
\[
\begin{split}
\phi_n^\prime (x) &= \begin{cases} \frac{1}{n}\ (1+x^{2n})^{1/n-1}\ 2n x^{2n-1} &\text{, se } 0\leq x< 1\\
\frac{1}{n}\ (1+x^{2n})^{1/n-1} 2n x^{2n-1} -2x &\text{, se } x> 1
\end{cases} \\
&= \begin{cases} 2\ (1+x^{2n})^{1/n-1}\ x^{2n-1} &\text{, se } 0\leq x< 1\\
2\ [(1+x^{2n})^{1/n-1}\ x^{2n-1} -x] &\text{, se } x> 1
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi \(\phi_n^\prime\) è positiva per \(x\in [0,1[\) e negativa in \(]1,+\infty[\) e la \(\phi_n\) cresce strettamente in tutto \([0,1]\) e decresce in \([1,+\infty[\); perciò:
\[
M_n:=\sup_{x\in \mathbb{R}} \phi_n (x) = \phi_n (1) = 2^{1/n}-1\; .
\]
Dato che \(\lim_n M_n =0\), c'è convergenza uniforme in tutto \(\mathbb{R}\).
\[
f_n(x) =x^2\ \left( 1+\frac{1}{x^{2n}}\right)^{1/n}
\]
ed il secondo fattore tende a \(1\) per \(n\to \infty\).
Ora, visto che \(f_n(x)\geq f(x)\) per ogni \(x\), hai:
\[
\phi_n(x) := |f_n(x)-f(x)| = \begin{cases} (1+x^{2n})^{1/n} -1 &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\
(1+x^{2n})^{1/n} -x^2 &\text{, se } x\leq -1 \text{ o } x\geq 1
\end{cases}
\]
e \(\phi_n\) è una funzione pari, quindi basta vedere cosa le accade limitatamente alle \(x\geq 0\)
Hai:
\[
\begin{split}
\phi_n^\prime (x) &= \begin{cases} \frac{1}{n}\ (1+x^{2n})^{1/n-1}\ 2n x^{2n-1} &\text{, se } 0\leq x< 1\\
\frac{1}{n}\ (1+x^{2n})^{1/n-1} 2n x^{2n-1} -2x &\text{, se } x> 1
\end{cases} \\
&= \begin{cases} 2\ (1+x^{2n})^{1/n-1}\ x^{2n-1} &\text{, se } 0\leq x< 1\\
2\ [(1+x^{2n})^{1/n-1}\ x^{2n-1} -x] &\text{, se } x> 1
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi \(\phi_n^\prime\) è positiva per \(x\in [0,1[\) e negativa in \(]1,+\infty[\) e la \(\phi_n\) cresce strettamente in tutto \([0,1]\) e decresce in \([1,+\infty[\); perciò:
\[
M_n:=\sup_{x\in \mathbb{R}} \phi_n (x) = \phi_n (1) = 2^{1/n}-1\; .
\]
Dato che \(\lim_n M_n =0\), c'è convergenza uniforme in tutto \(\mathbb{R}\).
Quello che non mi è chiaro è come fai a vedere che decresce in $[1,+oo[$, ovvero come fai a capire che $2[(1+x^2n)^(1/n-1)x^(2n-1)-x]<0$ $AAx>1$...
Risolvo la disequazione.
Ho \(\phi_n^\prime \geq 0\) in \(]1,+\infty[\) solo se:
\[
(1+x^{2n})^{1/n -1} x^{2n-2} -1 \geq 0
\]
ossia solo se:
\[
\frac{x^{2n-2}}{(1+x^{2n})^{\frac{n-1}{n}}} \geq 1\; ;
\]
ma \(1+x^{2n}>x^{2n}\) quindi \( (1+x^{2n})^{\frac{n-1}{n}} > x^{2n\ \frac{n-1}{n}} =x^{2n-2}\) e di conseguenza la disuguaglianza precedente non è mai vera.
Perciò \(\phi_n^\prime\) è \(<0\) per \(x>1\).
Ho \(\phi_n^\prime \geq 0\) in \(]1,+\infty[\) solo se:
\[
(1+x^{2n})^{1/n -1} x^{2n-2} -1 \geq 0
\]
ossia solo se:
\[
\frac{x^{2n-2}}{(1+x^{2n})^{\frac{n-1}{n}}} \geq 1\; ;
\]
ma \(1+x^{2n}>x^{2n}\) quindi \( (1+x^{2n})^{\frac{n-1}{n}} > x^{2n\ \frac{n-1}{n}} =x^{2n-2}\) e di conseguenza la disuguaglianza precedente non è mai vera.
Perciò \(\phi_n^\prime\) è \(<0\) per \(x>1\).
Oppure, tenuto conto della disuguaglianza \( \displaystyle \sqrt[n]{1+a}\leq 1+\frac{a}{n}\) valida per \( a \geq 0\) (vedi potenza del binomio):
per \( |x|\leq 1\) abbiamo:
\(\displaystyle 1 \leq (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}}\leq 1+\frac{x^{2n}}{n}\leq 1+\frac{1}{n}\)
per \( |x|>1\) abbiamo:
\( \displaystyle x^2=(x^{2n})^{\frac{1}{n}}\leq (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}}=x^2 \left(1+\frac{1}{x^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}}\leq x^2 \left(1+\frac{1}{nx^{2n}} \right)=x^2+\frac{1}{nx^{2n-2}}\leq 1+\frac{1}{n}\)
Quindi posto
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}
1 & |x|\leq1\\
x^{2} & |x|>1
\end{cases}\)
le due precedenti disuguaglianze implicano:
\( \displaystyle \left| f_n(x)-f(x)\right|<\frac{1}{n}, \forall x\)
e quindi la convergenza uniforme di \( f_n(x)\) verso \( f(x)\).
per \( |x|\leq 1\) abbiamo:
\(\displaystyle 1 \leq (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}}\leq 1+\frac{x^{2n}}{n}\leq 1+\frac{1}{n}\)
per \( |x|>1\) abbiamo:
\( \displaystyle x^2=(x^{2n})^{\frac{1}{n}}\leq (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}}=x^2 \left(1+\frac{1}{x^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}}\leq x^2 \left(1+\frac{1}{nx^{2n}} \right)=x^2+\frac{1}{nx^{2n-2}}\leq 1+\frac{1}{n}\)
Quindi posto
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}
1 & |x|\leq1\\
x^{2} & |x|>1
\end{cases}\)
le due precedenti disuguaglianze implicano:
\( \displaystyle \left| f_n(x)-f(x)\right|<\frac{1}{n}, \forall x\)
e quindi la convergenza uniforme di \( f_n(x)\) verso \( f(x)\).
@gugo: io avevo escluso a priori la convergenza uniforme su tutto $RR$ limitandomi a studiarla su intervalli limitati in quanto $\lim_{x \to \infty}f_n(x)=oo$ e dunque la funzione non è limitata su $RR$...mi sbaglio?
Provo ora a studiare la convergenza (intanto puntuale) della successione delle derivate $f_n'(x)=(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)$.
$f_n'$ è una funzione dispari quindi mi limito a studiarla nell'intervallo $[0,oo)$.
Se $0<=x<1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)=\lim_{n \to \infty}2x^(2n-1)=0$.
Se $x=1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n'(1)=\lim_{n \to \infty}(1+1^(2n))^(1/n-1)*2*1^(2n-1)=\lim_{n \to \infty}2^(1/n-1)*2=1$.
Se $x>1$ allora come risolvo il limite? Ho provato con il classico marchese ma non mi ha aiutato molto e non riesco a venirne a capo...
Provo ora a studiare la convergenza (intanto puntuale) della successione delle derivate $f_n'(x)=(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)$.
$f_n'$ è una funzione dispari quindi mi limito a studiarla nell'intervallo $[0,oo)$.
Se $0<=x<1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)=\lim_{n \to \infty}2x^(2n-1)=0$.
Se $x=1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n'(1)=\lim_{n \to \infty}(1+1^(2n))^(1/n-1)*2*1^(2n-1)=\lim_{n \to \infty}2^(1/n-1)*2=1$.
Se $x>1$ allora come risolvo il limite? Ho provato con il classico marchese ma non mi ha aiutato molto e non riesco a venirne a capo...
"thedarkhero":
@gugo: io avevo escluso a priori la convergenza uniforme su tutto $RR$ limitandomi a studiarla su intervalli limitati in quanto $\lim_{x \to \infty}f_n(x)=oo$ e dunque la funzione non è limitata su $RR$...mi sbaglio?
Certo che sbagli.
Infatti la non-limitatezza delle funzioni \(f_n\), in generale, non è sufficiente ad escludere la convergenza uniforme.
A parte l'esempio che abbiamo sotto mano, potresti meditare anche su quello che segue.
"thedarkhero":
Provo ora a studiare la convergenza (intanto puntuale) della successione delle derivate $f_n'(x)=(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)$.
$f_n'$ è una funzione dispari quindi mi limito a studiarla nell'intervallo $[0,oo)$.
Se $0<=x<1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)=\lim_{n \to \infty}2x^(2n-1)=0$.
Se $x=1$ allora $\lim_{n \to \infty}f_n'(1)=\lim_{n \to \infty}(1+1^(2n))^(1/n-1)*2*1^(2n-1)=\lim_{n \to \infty}2^(1/n-1)*2=1$.
Se $x>1$ allora come risolvo il limite? Ho provato con il classico marchese ma non mi ha aiutato molto e non riesco a venirne a capo...
Beh, nota che:
\[
2\ x^{2n-1}\ (1+x^{2n})^{\frac{1-n}{n}} = 2\ x^{2n-1}\ x^{2n\ \frac{1-n}{n}}\ \left( \frac{1}{x^{2n}} +1\right)^{\frac{1-n}{n}} = 2\ x\ \left( \frac{1}{x^{2n}} +1\right)^{\frac{1-n}{n}} \ldots
\]
Grazie al suggerimento di portare fuori dalla parentesi $x^(2n*(1-n)/n)$ ho provato a risolvere in un modo diverso (a mia impressione un po più semplice) la disuguaglianza di cui parlavamo sopra:
$d/(dx)((1+x^(2n))^(1/n)-x^2)=$
$(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)-2x=$
$x^((2n)*(1/n-1))(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)x^(2n-1)-2x=$
$x(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)-2x=$
$x[(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)-2]<0$
perchè $(1/x^(2n)+1)>1$ quindi $(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)<1$.
Mi pare che possa andare, no?
Riguardo il limite puntuale della successione $(f_n')_(n\inNN)$ per $x>1$ ho che
$\lim_{n \to \infty}f_n'=$
$\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)=$
$\lim_{n \to \infty}x^(2-2n)(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)2x^(2n-1)=$
$\lim_{n \to \infty}x(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)*2=2x$.
Dunque la funzione limite è $g(x)={(0,if |x|<1),(1,if |x|=1),(2x,if |x|>1):}$.
Tutto corretto?
$d/(dx)((1+x^(2n))^(1/n)-x^2)=$
$(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)-2x=$
$x^((2n)*(1/n-1))(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)x^(2n-1)-2x=$
$x(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)-2x=$
$x[(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)-2]<0$
perchè $(1/x^(2n)+1)>1$ quindi $(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)<1$.
Mi pare che possa andare, no?
Riguardo il limite puntuale della successione $(f_n')_(n\inNN)$ per $x>1$ ho che
$\lim_{n \to \infty}f_n'=$
$\lim_{n \to \infty}(1+x^(2n))^(1/n-1)*2x^(2n-1)=$
$\lim_{n \to \infty}x^(2-2n)(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)2x^(2n-1)=$
$\lim_{n \to \infty}x(1/x^(2n)+1)^(1/n-1)*2=2x$.
Dunque la funzione limite è $g(x)={(0,if |x|<1),(1,if |x|=1),(2x,if |x|>1):}$.
Tutto corretto?
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