Convergenza uniforme su due intervalli

[sajhoiseddse]

Ciao a tutti, devo discutere la convergenza uniforme su $(0,1]$ e $[1, +oo)$ di $f_n:(0,+oo)rarrRR$, $n>=1$, con $f_n(x):=(1+sqrt(n)logx)/(4+n^2x)$

La convergenza puntuale è facile, poiché per $nrarr+oo$ si ha $f_nrarrf≡0$.

Quindi devo studiare $lim_(nrarr+oo) text(sup)_(E_i) |f_n-f|$; tuttavia, se definisco $g_n(x):=|f_n-f|=(|1+sqrt(n)logx|)/(4+n^2x)$, mi esce che imponendo $g'_n(x)>=0$ bisogna risolvere l'equazione $x(n^(3/2)logx-n^2+n^(3/2))+4sqrt(n)>=0$, che però è chiaramente un'equazione trascendente.

Come posso comportarmi in casi come questo? Mi conviene provare a tracciare un grafico e vedere dove si trova la soluzione approssimata rispetto a $x=1$, oppure ci sono altre strade?

[feddy]

In genere se la funzione $|f_n - f|$ sono sufficientemente regolari (almeno $C^1$) si può cercare di determinare il sup tramite studio delle derivate: in questo caso però non mi pare agevole come strada.

In $I=(0,1]$ per $x$ piccolo l'espressione in modulo al numeratore tende a $+infty$, se le cose stanno così non c'è convergenza uniforme in $I$.

[sajhoiseddse]

In effetti hai ragione, per $x∼epsilon$ $g_n(x)$ diverge. Ma cosa posso dire su $[1,+∞)$ senza informazioni sulla monotonia della funzione?

[otta96]

"Obtusus":Cosa posso dire su $[1,+∞)$ senza informazioni sulla monotonia della funzione?

Potresti cominciare notando che $lnx

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