Convergenza uniforme : studio del sup della differenza
Salve e Auguri a tutti.
Prima di postare, ho spulciato un bel pò il forum, letto libri, appunti, pdf, esercizi, esempi, etc. eppure non sono riuscito a chiarire una serie di dubbi tutti legati ad un particolare passaggio dello studio della convergenza uniforme di successioni di funzioni. Il passaggio e il calcolo del sup della differenza tra la successione e il limite puntale. In particolare è il calcolo della differenza che non riesco a fare, non l'operazione matematica in se, ma non riesco a capire come comportarmi nel caso in cui la successione e/o la funzione limite, siano definite per intervalli. Faccio un piccolissimo esempio per essere più chiaro
Partiamo dalla successioni di funzioni
$f_n(x) = { (n,if x in (0,1/n)),(1/x,if x in [1/n,1]):}$
$x in (0,1]$
Per calcolare il limite puntuale
$\lim_{n \to \infty}f_n = { (infty,if x in (0,1/infty = 0)),(1/x,if x in [1/infty = 0,1]):}$
da cui
$f_n(x) -> f(x) = 1/x$ in $(0,1)$
Passo quindi al limite uniforme
$\lim_{n \to \infty} text{sup}|f_n(x) - f(x)| = 0$
Come si fa $|f_n(x) - f(x)|$?
Io ho avuto un' idea, ma non mi porta a risultati generalizzabili che posso applicare a tutti gli altri esercizi.
L' idea si basava sul grafico delle due, e quindi separare lo studio della differenza, in intervalli contigui. In questo caso quindi, considerare la differenza nulla nell'intervallo $[1/n,1]$ in quanto le due si comportano allo stesso modo, e calcolare quindi
$\lim_{n \to \infty} text{sup}|f_n(x) - f(x)| = \lim_{n \to \infty} text{sup}_{(0,1)}|n - 1/x| = 0$
La convergenza uniforme è data quindi dall'unione dei due intervalli risultanti. In realtà però mi sono accorto che in
$\lim_{n \to \infty} text{sup}_{(0,1/n)}|n - 1/x| = 0$ ho imborgliato, perchè il sup l'ho calcolato sostituendo $x$ con $1/n$, cosa "giusta" perchè funzione crescente quindi il max lo assume nell'estremo destro, ma il sup io lo stò calcolando in $(0,1)$
Il libro porta inoltre come risultato della convergenza puntuale, lo stesso mio, uniforme in intervalli del tipo $[r,1]$ con $0
Spero possiate aiutarmi a chiarire i miei dubbi. Grazie mille
Prima di postare, ho spulciato un bel pò il forum, letto libri, appunti, pdf, esercizi, esempi, etc. eppure non sono riuscito a chiarire una serie di dubbi tutti legati ad un particolare passaggio dello studio della convergenza uniforme di successioni di funzioni. Il passaggio e il calcolo del sup della differenza tra la successione e il limite puntale. In particolare è il calcolo della differenza che non riesco a fare, non l'operazione matematica in se, ma non riesco a capire come comportarmi nel caso in cui la successione e/o la funzione limite, siano definite per intervalli. Faccio un piccolissimo esempio per essere più chiaro
Partiamo dalla successioni di funzioni
$f_n(x) = { (n,if x in (0,1/n)),(1/x,if x in [1/n,1]):}$
$x in (0,1]$
Per calcolare il limite puntuale
$\lim_{n \to \infty}f_n = { (infty,if x in (0,1/infty = 0)),(1/x,if x in [1/infty = 0,1]):}$
da cui
$f_n(x) -> f(x) = 1/x$ in $(0,1)$
Passo quindi al limite uniforme
$\lim_{n \to \infty} text{sup}|f_n(x) - f(x)| = 0$
Come si fa $|f_n(x) - f(x)|$?
Io ho avuto un' idea, ma non mi porta a risultati generalizzabili che posso applicare a tutti gli altri esercizi.
L' idea si basava sul grafico delle due, e quindi separare lo studio della differenza, in intervalli contigui. In questo caso quindi, considerare la differenza nulla nell'intervallo $[1/n,1]$ in quanto le due si comportano allo stesso modo, e calcolare quindi
$\lim_{n \to \infty} text{sup}|f_n(x) - f(x)| = \lim_{n \to \infty} text{sup}_{(0,1)}|n - 1/x| = 0$
La convergenza uniforme è data quindi dall'unione dei due intervalli risultanti. In realtà però mi sono accorto che in
$\lim_{n \to \infty} text{sup}_{(0,1/n)}|n - 1/x| = 0$ ho imborgliato, perchè il sup l'ho calcolato sostituendo $x$ con $1/n$, cosa "giusta" perchè funzione crescente quindi il max lo assume nell'estremo destro, ma il sup io lo stò calcolando in $(0,1)$
Il libro porta inoltre come risultato della convergenza puntuale, lo stesso mio, uniforme in intervalli del tipo $[r,1]$ con $0
Spero possiate aiutarmi a chiarire i miei dubbi. Grazie mille
Risposte
Nessuno può aiutarmi? 
Le tue notazioni non sono sempre chiare.
Comunque: il limite puntuale è $f(x) = 1/x$, $x\in (0,1]$.
Chiaramente la convergenza non può essere uniforme in $(0,1]$, visto che le $f_n$ sono limitate mentre $f$ è illimitata.
Come da te riportato, la convergenza è invece uniforme su $[r,1]$ per ogni $r\in (0,1)$.
Questo si vede facilmente; per ogni $n > 1/r$ si ha infatti $f_n(x) = 1/x$ per ogni $x\in [r,1]$, quindi
per ogni $n>1/r$, $|f_n(x) - f(x)| = 0$ per ogni $x\in [r,1]$, da cui $\lim_n "sup"_{x\in [r,1]} |f_n(x) - f(x)| = 0$.
Comunque: il limite puntuale è $f(x) = 1/x$, $x\in (0,1]$.
Chiaramente la convergenza non può essere uniforme in $(0,1]$, visto che le $f_n$ sono limitate mentre $f$ è illimitata.
Come da te riportato, la convergenza è invece uniforme su $[r,1]$ per ogni $r\in (0,1)$.
Questo si vede facilmente; per ogni $n > 1/r$ si ha infatti $f_n(x) = 1/x$ per ogni $x\in [r,1]$, quindi
per ogni $n>1/r$, $|f_n(x) - f(x)| = 0$ per ogni $x\in [r,1]$, da cui $\lim_n "sup"_{x\in [r,1]} |f_n(x) - f(x)| = 0$.
ok, grazie anche ad un'amico che mi ha fatto vedere meglio graficamente la situazione, credo di essere riuscito a capire abbastanza. Grazie mille
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