Convergenza uniforme serie in due parametri
ciao 
devo studiare la c.u. della serie in due variabili $(x;t)$ nella striscia $S = [0;\pi]×[0;+oo)$
per $t>0$ l'esponenziale schiaccia il termine generale della serie a 0, per ogni x. Dunque il termine generale della serie è infinitesimo (c.n. per la c.u.). Maggiorando il modulo del termine generale della serie (dato che il seno è al massimo pari a 1) mediante $1/((2k-1)(2k+3)exp(\pi t))$ convergente, se ne ricava per il criterio del c. che la serie (*) converge totalmente per ogni $(x;t)$ contenuto nella striscia $S$, dunque uniformemente.
per $t=0$ sorge qualche dubbio.. mediante criterio di weierstrass, maggiorando con una serie numerica armonica generalizzata convergente con termine generale $1/(4k^2)$, dovrei dedurne la convergenza uniforme.. tuttavia le soluzioni affermano che la serie non converge uniformemente in $t=0$... perchè?
grazie
devo studiare la c.u. della serie in due variabili $(x;t)$ nella striscia $S = [0;\pi]×[0;+oo)$
$sum_{k=0}^oo (-1)^k/((2k-1)(2k+3)) exp(-\pi t) sin((2k+1)x)$ (*)
per $t>0$ l'esponenziale schiaccia il termine generale della serie a 0, per ogni x. Dunque il termine generale della serie è infinitesimo (c.n. per la c.u.). Maggiorando il modulo del termine generale della serie (dato che il seno è al massimo pari a 1) mediante $1/((2k-1)(2k+3)exp(\pi t))$ convergente, se ne ricava per il criterio del c. che la serie (*) converge totalmente per ogni $(x;t)$ contenuto nella striscia $S$, dunque uniformemente.
per $t=0$ sorge qualche dubbio.. mediante criterio di weierstrass, maggiorando con una serie numerica armonica generalizzata convergente con termine generale $1/(4k^2)$, dovrei dedurne la convergenza uniforme.. tuttavia le soluzioni affermano che la serie non converge uniformemente in $t=0$... perchè?
grazie
Risposte
nessuno?
Ciao,
Effettivamente sembra strano, quello che viene in mente é che essendo una successione a segni alterni si può pensare di porre come termine generale l'intera funzione. In tal caso questa serie é infinitesima ma non monotona decrescente, essendo il seno oscillante, allora per il criterio di Leibnitz non converge. Tuttavia a rigore il criterio di Leibnitz dovrebbe aiutare solo per la convergenza puntuale.
Se la soluzione desse qualche elemento in più potrebbe aiutare.
Ciao
Effettivamente sembra strano, quello che viene in mente é che essendo una successione a segni alterni si può pensare di porre come termine generale l'intera funzione. In tal caso questa serie é infinitesima ma non monotona decrescente, essendo il seno oscillante, allora per il criterio di Leibnitz non converge. Tuttavia a rigore il criterio di Leibnitz dovrebbe aiutare solo per la convergenza puntuale.
Se la soluzione desse qualche elemento in più potrebbe aiutare.
Ciao
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