Convergenza uniforme serie geometrica (estremi)
Considero la serie geometrica [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} x^k[/tex] e ne discuto la convergenza uniforme senza usare i risultati sulle serie di potenze.
La serie geometrica converge puntualmente per [tex]|x|<1[/tex] a [tex]\frac{1}{1-x}[/tex]; calcolo ora il valore assoluto della differenza tra la ridotta [tex]n[/tex]-esima e la somma, cercando di minorare con una quantità infinitesima che non dipenda da [tex]x[/tex]:
[tex]\left|\sum_{k=0}^{n} x^k - \frac{1}{1-x} \right| = \frac{|x|^{n+1}}{1-x}[/tex]
e ora osservo che se scelgo [tex]a\in]0,1[[/tex] e [tex]x\in]-a,a[[/tex] posso minorare con [tex]\frac{a^{n+1}}{1-a}[/tex] e concludere che la serie converge uniformemente in [tex][-a,a][/tex] (cosa che potevo già sapere cercando il raggio di convergenza)
Il mio problema è, comunque, studiare la convergenza uniforme in [tex]]-1,1[[/tex], includendo gli [tex]1[/tex]; dato che in questo intervallo non riesco a minorare come ho fatto prima, sono portato a credere che non ci sia convergenza uniforme, ma come fare per dimostrarlo? Dovrei esibire un [tex]\varepsilon[/tex] tale che per ogni [tex]n[/tex] trovo un [tex]x[/tex] vicino a [tex]1[/tex] che maggiora? Non saprei bene come trovarlo esplicitamente.
Grazie per l'attenzione
La serie geometrica converge puntualmente per [tex]|x|<1[/tex] a [tex]\frac{1}{1-x}[/tex]; calcolo ora il valore assoluto della differenza tra la ridotta [tex]n[/tex]-esima e la somma, cercando di minorare con una quantità infinitesima che non dipenda da [tex]x[/tex]:
[tex]\left|\sum_{k=0}^{n} x^k - \frac{1}{1-x} \right| = \frac{|x|^{n+1}}{1-x}[/tex]
e ora osservo che se scelgo [tex]a\in]0,1[[/tex] e [tex]x\in]-a,a[[/tex] posso minorare con [tex]\frac{a^{n+1}}{1-a}[/tex] e concludere che la serie converge uniformemente in [tex][-a,a][/tex] (cosa che potevo già sapere cercando il raggio di convergenza)
Il mio problema è, comunque, studiare la convergenza uniforme in [tex]]-1,1[[/tex], includendo gli [tex]1[/tex]; dato che in questo intervallo non riesco a minorare come ho fatto prima, sono portato a credere che non ci sia convergenza uniforme, ma come fare per dimostrarlo? Dovrei esibire un [tex]\varepsilon[/tex] tale che per ogni [tex]n[/tex] trovo un [tex]x[/tex] vicino a [tex]1[/tex] che maggiora? Non saprei bene come trovarlo esplicitamente.
Grazie per l'attenzione
Risposte
La serie non converge per $x = \pm 1$, quindi...
Vero, ma come posso concludere che allora non converge nell'intervallo [tex]]-1,1[[/tex] estremi esclusi? Spero che non mi stia sfuggendo qualcosa di stupido...
EDIT: Forse ho capito, mi ero spiegato male - ora ho modificato il post precedente.
EDIT: Forse ho capito, mi ero spiegato male - ora ho modificato il post precedente.
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