Convergenza uniforme serie geometrica
Buongiorno,
ho difficoltà a dimostrare la convergenza uniforme della serie geometrica nell'intervallo aperto $I=(-1,1)$.
Posto $s_n(x)=(1-x^(n+1))/(1-x)$, si dimostra banalmente che $AAx\inI$ $s(x)=lim_(n to infty)s_n(x)=1/(1-x)$.
Resta quindi da dimostrare che $lim_(n to infty)"sup"|s_n(x)-s(x)|=0$ $AAx\in[-1+\epsilon,1-\epsilon]$. Come potrei procedere senza perdermi in calcoli inutili? Non riesco a capire quale sia il giusto ragionamento da seguire
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ho difficoltà a dimostrare la convergenza uniforme della serie geometrica nell'intervallo aperto $I=(-1,1)$.
Posto $s_n(x)=(1-x^(n+1))/(1-x)$, si dimostra banalmente che $AAx\inI$ $s(x)=lim_(n to infty)s_n(x)=1/(1-x)$.
Resta quindi da dimostrare che $lim_(n to infty)"sup"|s_n(x)-s(x)|=0$ $AAx\in[-1+\epsilon,1-\epsilon]$. Come potrei procedere senza perdermi in calcoli inutili? Non riesco a capire quale sia il giusto ragionamento da seguire
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Risposte
Ciao RP-1,
Beh, si ha:
[tex]\sup_{(-1, 1)} |r_n(x)|= +\infty[/tex]
quindi la serie geometrica non può convergere uniformemente in tutto $ I = (−1,1) $ alla sua somma.
Beh, si ha:
[tex]\sup_{(-1, 1)} |r_n(x)|= +\infty[/tex]
quindi la serie geometrica non può convergere uniformemente in tutto $ I = (−1,1) $ alla sua somma.
Ciao! Grazie per la risposta!
Non mi è chiara l'implicazione. Suppongo tu faccia riferimento alla convergenza totale, però in tal caso ciò non esluderebbe la convergenza uniforme, dal momento che $"conv. tot. "\Rightarrow" conv. uniforme"$ ma non viceversa. Dove mi perdo?
Non mi è chiara l'implicazione. Suppongo tu faccia riferimento alla convergenza totale, però in tal caso ciò non esluderebbe la convergenza uniforme, dal momento che $"conv. tot. "\Rightarrow" conv. uniforme"$ ma non viceversa. Dove mi perdo?
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