Convergenza uniforme serie di funzioni
Considero la serie di funzioni $\sum_{n=1}^{oo} (-1)^(n+1)/n^x$.
Ho provato che su $[a,+oo[$ con $a>0$ converge uniformemente.
Come posso provare che NON converge uniformemente nell'intervallo $ ] 0,+oo[$?
Ho provato che su $[a,+oo[$ con $a>0$ converge uniformemente.
Come posso provare che NON converge uniformemente nell'intervallo $ ] 0,+oo[$?
Risposte
Ho pensato che se converge su $]0,+oo[$ allora converge anche sulla sua chiusura, quindi anche in zero.
Vale il fatto che visto che non converge puntualmente in 0 non converge neanche uniformemente? Ovvero la convergenza uniforme implica quella puntuale anche per le serie di funzioni oltre che per le successioni di funzioni?
Vale il fatto che visto che non converge puntualmente in 0 non converge neanche uniformemente? Ovvero la convergenza uniforme implica quella puntuale anche per le serie di funzioni oltre che per le successioni di funzioni?
"thedarkhero":Ma no, e questo dove starebbe scritto? Toh, prendi la successione di funzioni \(f_n(x)=ne^{nx}\). Essa converge in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) e secondo il tuo ragionamento dovrebbe convergere pure in \(0\) ma evidentemente
Ho pensato che se converge su $]0,+oo[$ allora converge anche sulla sua chiusura, quindi anche in zero.
\[\lim_{n\to \infty} f_n(0)=\infty.\]
Vale il fatto che visto che non converge puntualmente in 0 non converge neanche uniformemente? Ovvero la convergenza uniforme implica quella puntuale anche per le serie di funzioni oltre che per le successioni di funzioni?
Ma certo. Non puoi avere dubbi su queste ovvietà. La convergenza uniforme implica quella puntuale, per successioni o serie di funzioni che dir si voglia - e a proposito: non esiste distinzione tra successioni e serie, sono esattamente la stessa cosa. Una serie di funzioni è una maniera più comoda di indicare la successione delle somme parziali.
Un ultimo richiamo. Non dire: "converge uniformemente in \(0\)", è privo di senso. Puoi dire invece che, siccome la serie non converge puntualmente in \(0\), essa non converge uniformemente in alcun intervallo contenente \(0\). Questo ha senso.
Perchè la successione che hai proposto tu converge in $RR \ {0}$?
Il teorema a cui mi riferivo io era che una serie di funzioni continue è convergente uniformemente su un insieme allora è convergente uniformemente anche sulla sua chiusura, confermi?
Nel caso del mio esercizio non posso applicare il ragionamento che ho descritto sopra?
Il teorema a cui mi riferivo io era che una serie di funzioni continue è convergente uniformemente su un insieme allora è convergente uniformemente anche sulla sua chiusura, confermi?
Nel caso del mio esercizio non posso applicare il ragionamento che ho descritto sopra?
"thedarkhero":Boh, non lo so. Non escludo che sia vero ma non conosco questo teorema.
Perchè la successione che hai proposto tu converge in $RR \ {0}$?
Il teorema a cui mi riferivo io era che una serie di funzioni continue è convergente uniformemente su un insieme allora è convergente uniformemente anche sulla sua chiusura, confermi?
Nel caso del mio esercizio non posso applicare il ragionamento che ho descritto sopra?
Di nuovo, non lo so. Sicuramente la serie non converge uniformemente in alcun intervallo contenente \(0\), ma a quanto ne so io potrebbe convergere uniformemente in \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). Se però vale questo teorema che dici, formulato esattamente come l'hai messo tu, si potrebbe applicare ed escludere tale eventualità.
Si questo teorema vale (almeno secondo i miei appunti), volendo posso riportarti la dimostrazione.
Operativamente mi viene un dubbio...la chiusura di $]0,+oo[$ è $[0,+oo]$? Perchè in tal caso conterrebbe $+oo$ che non appartiene ad $RR$...
Operativamente mi viene un dubbio...la chiusura di $]0,+oo[$ è $[0,+oo]$? Perchè in tal caso conterrebbe $+oo$ che non appartiene ad $RR$...
Beh, vabbé. Cosa studi, Matematica? Allora saprai che la chiusura di un insieme dipende dallo spazio topologico che stai considerando. Nello specifico, la chiusura di \((0, \infty)\) è \([0, \infty)\) rispetto ad \(\mathbb{R}=(-\infty, \infty)\) ed è \([0, \infty]\) rispetto a \([-\infty, +\infty]\). Ma chiaramente il discorso che stai facendo adesso riguarda \((-\infty, \infty)\).
Nel primo caso, cioè rispetto ad $RR$, la chiusura non è $[0,+oo)$? Cioè lo zero appartiene alla chiusura giusto?
Si, certo, scusa la mia svista.
Ok, grazie di tutto!
