Convergenza uniforme serie di funzioni

thedarkhero
Considero la serie di funzioni $\sum_{n=1}^{oo} (-1)^(n+1)/n^x$.
Ho provato che su $[a,+oo[$ con $a>0$ converge uniformemente.
Come posso provare che NON converge uniformemente nell'intervallo $ ] 0,+oo[$?

Risposte
thedarkhero
Ho pensato che se converge su $]0,+oo[$ allora converge anche sulla sua chiusura, quindi anche in zero.
Vale il fatto che visto che non converge puntualmente in 0 non converge neanche uniformemente? Ovvero la convergenza uniforme implica quella puntuale anche per le serie di funzioni oltre che per le successioni di funzioni?

dissonance
"thedarkhero":
Ho pensato che se converge su $]0,+oo[$ allora converge anche sulla sua chiusura, quindi anche in zero.
Ma no, e questo dove starebbe scritto? Toh, prendi la successione di funzioni \(f_n(x)=ne^{nx}\). Essa converge in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) e secondo il tuo ragionamento dovrebbe convergere pure in \(0\) ma evidentemente

\[\lim_{n\to \infty} f_n(0)=\infty.\]
Vale il fatto che visto che non converge puntualmente in 0 non converge neanche uniformemente? Ovvero la convergenza uniforme implica quella puntuale anche per le serie di funzioni oltre che per le successioni di funzioni?

Ma certo. Non puoi avere dubbi su queste ovvietà. La convergenza uniforme implica quella puntuale, per successioni o serie di funzioni che dir si voglia - e a proposito: non esiste distinzione tra successioni e serie, sono esattamente la stessa cosa. Una serie di funzioni è una maniera più comoda di indicare la successione delle somme parziali.

Un ultimo richiamo. Non dire: "converge uniformemente in \(0\)", è privo di senso. Puoi dire invece che, siccome la serie non converge puntualmente in \(0\), essa non converge uniformemente in alcun intervallo contenente \(0\). Questo ha senso.

thedarkhero
Perchè la successione che hai proposto tu converge in $RR \ {0}$?

Il teorema a cui mi riferivo io era che una serie di funzioni continue è convergente uniformemente su un insieme allora è convergente uniformemente anche sulla sua chiusura, confermi?

Nel caso del mio esercizio non posso applicare il ragionamento che ho descritto sopra?

dissonance
"thedarkhero":
Perchè la successione che hai proposto tu converge in $RR \ {0}$?

Il teorema a cui mi riferivo io era che una serie di funzioni continue è convergente uniformemente su un insieme allora è convergente uniformemente anche sulla sua chiusura, confermi?
Boh, non lo so. Non escludo che sia vero ma non conosco questo teorema.

Nel caso del mio esercizio non posso applicare il ragionamento che ho descritto sopra?

Di nuovo, non lo so. Sicuramente la serie non converge uniformemente in alcun intervallo contenente \(0\), ma a quanto ne so io potrebbe convergere uniformemente in \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). Se però vale questo teorema che dici, formulato esattamente come l'hai messo tu, si potrebbe applicare ed escludere tale eventualità.

thedarkhero
Si questo teorema vale (almeno secondo i miei appunti), volendo posso riportarti la dimostrazione.

Operativamente mi viene un dubbio...la chiusura di $]0,+oo[$ è $[0,+oo]$? Perchè in tal caso conterrebbe $+oo$ che non appartiene ad $RR$...

dissonance
Beh, vabbé. Cosa studi, Matematica? Allora saprai che la chiusura di un insieme dipende dallo spazio topologico che stai considerando. Nello specifico, la chiusura di \((0, \infty)\) è \([0, \infty)\) rispetto ad \(\mathbb{R}=(-\infty, \infty)\) ed è \([0, \infty]\) rispetto a \([-\infty, +\infty]\). Ma chiaramente il discorso che stai facendo adesso riguarda \((-\infty, \infty)\).

thedarkhero
Nel primo caso, cioè rispetto ad $RR$, la chiusura non è $[0,+oo)$? Cioè lo zero appartiene alla chiusura giusto?

dissonance
Si, certo, scusa la mia svista.

thedarkhero
Ok, grazie di tutto! :)

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