Convergenza uniforme serie di funzioni
Ciao a tutti ho la seguente serie di funzioni:
$sum_(n=1)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)$
La richiesta è di studiarne convergenza puntuale, uniforme e totale.
Per quanto riguarda la conv puntuale ho ragionato così:
$|x/(\sqrt(n)(1+nx^2))| <= |x|/(\sqrt(n)+n^(3/2)x^2) <= |x|/(x^2n^(3/2))$
Sfruttando quindi la convergenza assoluta e il criterio del confronto concludo che la serie di partenza converge puntualmente su tutto l’insieme dei reali.
Sono poi passato a studiare la convergenza uniforme tramite la definizione ma non sono riuscito a concludere niente:
$lim_(N -> +\infty) Sup_(x \epsilon R) |sum_(n=N)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)|$ = ...
Qualche volta qui si risolve con proprietà delle serie di Leibniz o con serie geometriche per cui possiamo trovare la somma, non mi sembra però questo il caso
$sum_(n=1)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)$
La richiesta è di studiarne convergenza puntuale, uniforme e totale.
Per quanto riguarda la conv puntuale ho ragionato così:
$|x/(\sqrt(n)(1+nx^2))| <= |x|/(\sqrt(n)+n^(3/2)x^2) <= |x|/(x^2n^(3/2))$
Sfruttando quindi la convergenza assoluta e il criterio del confronto concludo che la serie di partenza converge puntualmente su tutto l’insieme dei reali.
Sono poi passato a studiare la convergenza uniforme tramite la definizione ma non sono riuscito a concludere niente:
$lim_(N -> +\infty) Sup_(x \epsilon R) |sum_(n=N)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)|$ = ...
Qualche volta qui si risolve con proprietà delle serie di Leibniz o con serie geometriche per cui possiamo trovare la somma, non mi sembra però questo il caso
Risposte
Intanto nota che è sufficiente studiare la serie su \([0, \infty)\). Poi, continua a sfruttare la maggiorazione che già hai trovato. Cosa succede per \(x\in [a, \infty)\), dove \(a>0\) è un numero fissato? Ricordati il test di Weierstrass (anche noto come "test per la convergenza totale").
Avevo pensato di sfruttare la convergenza totale limitandomi per esempio all’intervallo $[0,\infty)$ .
Calcolando la derivata ottenevo il sup per $x=1/N$ e quindi poi non ottenevo convergenza totale.
Ripensandoci però se restringo il dominio su $[a,\infty)$ come da te suggerito forse riesco a dire qualcosa in più... Per esempio, visto che a noi interessa il comportamento della “coda” della serie, fissato $a$ è possibile trovare un indice $N$ tale che $1/N$ Sia più piccolo di a e quindi il sup della $f_n(x)$ sarà in $a$.
A questo punto $Sup_[a,\infty)|f_n(x)|= (a)/(n^(3/2)a^2+n^(1/2))$ ed ovviamente abbiamo convergenza totale.
Può andare?
Calcolando la derivata ottenevo il sup per $x=1/N$ e quindi poi non ottenevo convergenza totale.
Ripensandoci però se restringo il dominio su $[a,\infty)$ come da te suggerito forse riesco a dire qualcosa in più... Per esempio, visto che a noi interessa il comportamento della “coda” della serie, fissato $a$ è possibile trovare un indice $N$ tale che $1/N$ Sia più piccolo di a e quindi il sup della $f_n(x)$ sarà in $a$.
A questo punto $Sup_[a,\infty)|f_n(x)|= (a)/(n^(3/2)a^2+n^(1/2))$ ed ovviamente abbiamo convergenza totale.
Può andare?
Si, va bene. Nota che la serie converge totalmente su \((-\infty, -a]\cup [a, \infty)\), per simmetria.
Ah, comunque, non hai fatto una cosa semplice ma importante: porta la \(x\) fuori dal simbolo di sommatoria. Puoi farlo, non dipende da \(n\). Cosa puoi dire adesso sulla convergenza?
Allora vediamo
1) Il fatto della simmetria vale perché la funzione è dispari giusto?
2) Sapevo che portare fuori la x è un'operazione lecita in questo caso ma non ne vedevo i vantaggi. Ho provato adesso a studiarla con la x fuori ma mi sembra di riottenere le stesse conclusioni di prima, ovvero convergenza totale su $(-\infty,-a] [a,\infty)$ e convergenza puntuale su tutto R
1) Il fatto della simmetria vale perché la funzione è dispari giusto?
2) Sapevo che portare fuori la x è un'operazione lecita in questo caso ma non ne vedevo i vantaggi. Ho provato adesso a studiarla con la x fuori ma mi sembra di riottenere le stesse conclusioni di prima, ovvero convergenza totale su $(-\infty,-a] [a,\infty)$ e convergenza puntuale su tutto R
Sicuro? Convergenza puntuale su tutto \(\mathbb R\)?
Mmm effettivamente se considero la serie con 1 al numeratore al posto di x e sostituisco x=0 la serie diverge, però io pensavo che essendo moltiplicata per 0 comunque si poteva considerare la convergenza su R
Certo, ma infatti hai ragione, la serie originale converge puntualmente su tutto \(\mathbb R\). Inoltre la serie converge totalmente, e quindi anche uniformemente, su \((-\infty, -a]\cup [a, \infty)\) per ogni \(a>0\). Resterebbe da studiare la convergenza uniforme su tutto \(\mathbb R\). Siccome abbiamo visto che in \(0\) succedono cose strane, probabilmente sarà il caso che la serie non converge uniformemente su tutto \(\mathbb R\). Certo, bisognerebbe dimostrarlo.
Ecco se posso rubarti proprio altri 5 minuti del tuo tempo, volendo studiare la convergenza uniforme su un intervallo del tipo $[0,\infty)$ come potrei muovermi?
Potresti tentare facendo vedere che non vale il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme sulle somme parziali. Dico potresti perché è uno dei pochi metodi che conosco per farlo vedere.
Ma quindi può capitare di non poter dire niente sulla convergenza in alcuni punti del dominio di qualche serie di funzioni?
Ci provo. Riscriviamo la serie come $\sum (1/n)(\sqrt(n)x)/(1+nx^2)=\sum (1/n)h(\sqrt(n)x)$ con $h(t)=t/(1+t^2)$. Supponiamo che per assurdo valga Cauchy, cioè fissato $\epsilon >0$ esista $\alpha$ tale che per ogni $q>p>\alpha$ si abbia $|\sum_{n=p}^{q} (1/n)h(\sqrt(n)x)|<\epsilon$ per ogni $x\geq0$. Allora preso $q=2p>p>\alpha$ e $x=1/\sqrt(p)$ avremo (tenendo conto di 1)che se p1/(2p)$ e che 2) h(t) decresce se $t\geq1$ e perciò varrà $h(\sqrt(n/p))\geq h(\sqrt2)=\sqrt(2)/3$)
$\epsilon>|\sum_{n=p}^{2p} (1/n)h(\sqrt(n/p))|>p(1/(2p))(\sqrt(2)/3)=\sqrt(2)/6$. Contro l'arbitrarietà di epsilon. Come si vede il problema è vicino allo zero.
$\epsilon>|\sum_{n=p}^{2p} (1/n)h(\sqrt(n/p))|>p(1/(2p))(\sqrt(2)/3)=\sqrt(2)/6$. Contro l'arbitrarietà di epsilon. Come si vede il problema è vicino allo zero.
@Reyzet: 
Propongo una versione leggermente semplificata della stessa dimostrazione. La serie è
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{\sqrt n (1+nx^2)}.\]
Raccogliendo \(\frac1n\), il termine generale si può riscrivere
\[
\frac{1}{n}\left( \frac{\sqrt n x}{1+nx^2}\right)=\frac{1}{n}h(\sqrt n x),\qquad h(t):=\frac{t}{1+t^2},\]
e si vede facilmente che \(h\) è decrescente per \(t\ge 1\) e \(h(1)=\frac12\). E fin qui non ho fatto altro che riscrivere il post di Reyzet.
Ora sia \(\epsilon >0\); se la serie convergesse uniformemente su tutto \(\mathbb R\) si dovrebbe avere
\[
\left\lvert \sum_p^q\frac{1}{n}h(\sqrt n x)\right\rvert < \epsilon,\]
per interi \(p
e questo implica che la serie numerica \(\sum \frac 1 n \) verifica il criterio di Cauchy ed è pertanto convergente. Questo è assurdo.
Propongo una versione leggermente semplificata della stessa dimostrazione. La serie è
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{\sqrt n (1+nx^2)}.\]
Raccogliendo \(\frac1n\), il termine generale si può riscrivere
\[
\frac{1}{n}\left( \frac{\sqrt n x}{1+nx^2}\right)=\frac{1}{n}h(\sqrt n x),\qquad h(t):=\frac{t}{1+t^2},\]
e si vede facilmente che \(h\) è decrescente per \(t\ge 1\) e \(h(1)=\frac12\). E fin qui non ho fatto altro che riscrivere il post di Reyzet.
Ora sia \(\epsilon >0\); se la serie convergesse uniformemente su tutto \(\mathbb R\) si dovrebbe avere
\[
\left\lvert \sum_p^q\frac{1}{n}h(\sqrt n x)\right\rvert < \epsilon,\]
per interi \(p
e questo implica che la serie numerica \(\sum \frac 1 n \) verifica il criterio di Cauchy ed è pertanto convergente. Questo è assurdo.
Va bene, ringrazio entrambi delle risposte.
@dissonance: ma quando prendi $x=1/\sqrt(n)$ cosa è n? Visto che varia tra p e q non dovrebbe essere un numero fisso in cui valutare h
Giusto, era x=1/p, e poi si usa la monotonia di h, esattamente come hai fatto tu. Insomma proprio la stessa cosa che hai fatto tu, ma usando il fatto che $sum 1/n$ non converge, per risparmiare qualche passaggio.
Non sono molto concentrato, vediamo se più tardi trovo il tempo di correggere il post precedente. Sono in montagna, e il fatto che mi metta a consultare questo forum è un chiaro segno che la matematica fa male
Non sono molto concentrato, vediamo se più tardi trovo il tempo di correggere il post precedente. Sono in montagna, e il fatto che mi metta a consultare questo forum è un chiaro segno che la matematica fa male
Ahah, capisco, il penultimo post l'ho scritto mentre ero in spiaggia a ferragosto, una vera malattia 
Però sono curioso di sapere come hai dedotto che poteva non esserci convergenza uniforme in 0, è perché non funzionava l'M-test di Weierstrass?
Però sono curioso di sapere come hai dedotto che poteva non esserci convergenza uniforme in 0, è perché non funzionava l'M-test di Weierstrass?
Il fatto che l'M test fallisce già è un grosso segnale che qualcosa non va. Poi, anche se non sono riuscito a focalizzare questa idea, sospetto che, detta $S(x)$ la somma puntuale, si abbia $S(1/sqrt n) \to oo$, mentre $S(0)=0$. Questa sarebbe una dimostrazione alternativa del fallimento della convergenza uniforme, perché gli addendi sono funzioni continue, non può essere che la funzione somma sia discontinua.
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