Convergenza uniforme serie di funzioni
devo stabilire se la serie $sum_n (sin(2nx)/(2+sinx)^(n^2))$ converge in $[0,pi]$
se calcolo il $\Sup_([0,pi]) |f_n(x)|=(1/2)^(n^2)$?
se calcolo il $\Sup_([0,pi]) |f_n(x)|=(1/2)^(n^2)$?
Risposte
Io lo farei come hai fatto tu e poi applicherei il criterio di Weierstrass!
Come l'hai calcolato l'estremo superiore?
Non so se puoi dire direttamente che
ma certamente
$|f_n(x)|\leq(1/2)^(n^2)$, da cui passando al $\Sup$ su $[0,\pi]$, hai
\[
0 \leq \sup_{[0,pi]} |f_n(x)| \leq \underbrace{(1/2)^{n^2}}_{(\to 0 \text{ per } n \to +\infty)},
\]
da cui per il teorema del confronto $\Sup_{[0,pi]} |f_n(x)|$ tende a $0$ per $n\to+\infty$ e quindi hai convergenza uniforme.
"gbspeedy":
$ \Sup_([0,pi]) |f_n(x)|=(1/2)^(n^2) $
ma certamente
$|f_n(x)|\leq(1/2)^(n^2)$, da cui passando al $\Sup$ su $[0,\pi]$, hai
\[
0 \leq \sup_{[0,pi]} |f_n(x)| \leq \underbrace{(1/2)^{n^2}}_{(\to 0 \text{ per } n \to +\infty)},
\]
da cui per il teorema del confronto $\Sup_{[0,pi]} |f_n(x)|$ tende a $0$ per $n\to+\infty$ e quindi hai convergenza uniforme.
per applicare il teorema del confronto non devo verificare che $sum_n (1/2)^(n^2)$ converga?( usando ad esempio il criterio della radice)
Mea culpa, sono stato frettoloso nella conclusione. Dopo la stima dimostri che $sum_n (1/2)^(n^2)$ (ok radice) da cui deduci la convergenza totale e, come suggeriva Gendarmevariante, per il criterio di Weierstrass hai la convergenza uniforme.
se l'intervallo fosse $[-pi,pi]$ non avrei convergenza uniforme?
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