Convergenza uniforme serie

[gbspeedy]

ho $\sum_(n=1)^(+oo) (sinx)^(n+1)/(e^(nx^2))$

converge puntualmente in $R$ (confronto con serie geometrica)

per la convergenza uniforme cosa posso dire?

[ciampax]

In reaaltà, più che confrontarle con la serie geometrica, io direi che quella è proprio una serie geometrica del tipo

$\sin x\sum_{n=0}^\infty (\frac{\sin x}{e^{x^2}})^n$

per cui ragionerei su questo anche per comprendere la convergenza uniforme.

[gbspeedy]

$|sinx/(e^(x^2))|<1$ $AAx in R$ e quindi ho convergenza puntuale in $R$

per la convergenza uniforme studio $f(x)=sinx/(e^(x^2))$?

[ciampax]

Eh sì, direi proprio di sì.

[gbspeedy]

se ho $\sum_(n=0)^(+oo) (3^x-2)^n/(n+n^x)$

ho trovato che converge semplicemente in $[0,1)$

per la convergenza uniforme posso dire che Sup$|f_n(x)|<=(3^x-2)^n/n$ termine generale serie di potenze convergente per $x in [0,1)$?

[gbspeedy]

"gbspeedy":$|sinx/(e^(x^2))|<1$ $AAx in R$ e quindi ho convergenza puntuale in $R$

per la convergenza uniforme studio $f(x)=sinx/(e^(x^2))$?

la funzione presenta un massimo $M in (0,1)$

quindi $sum$ sup $|sinx/(e^(x^2))|

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[ciampax]

Si, per la prima serie puoi concludere come hai fatto.

Per l'altra, come hai determinato l'insieme di convergenza puntuale? Ad occhio c'è qualcosa che non mi torna.

[gbspeedy]

per$x=0$ ho $sum (-1)^n/(n+1)$ converge per Leibniz

per $0
per $x=1$ ho $sum 1/(2n)$ che diverge

per $x>1$ ho $(3^x-2)/(n+n^x)$ $ ~ $ $(3^x-2)/n^x$ che ha termine generale non infinitesimo

per $x<0$ non converge perchè il termine generale non è infinitesimo

[gbspeedy]

ho $\sum_(n=1)^(+oo) (e^(x/n)-1)sin(x/n)$

converge puntualmente in $[0,+oo)$

per la convergenza uniforme è giusto porre : sup$|f_n(x)|<=$sup$|x/n(e^(x/n)-1)|=M_n$

[ciampax]

Mi devi fare un favore, però: una serie, una discussione, altrimenti qua impazziamo. Per cui blocchiamo qua il discorso e apri altri due discussioni, ripetendo le cose che hai scritto sulle due serie.