Convergenza Uniforme per successione
Ragazzi.... ho problemi per quanto riguarda la convergenza uniforme.
In questo caso \(\displaystyle f_{n}\left( x \right)=e^{\left( \frac{x}{n}+x \right)} \) so per certo che la successione non converge uniformemente perchè la sua funzione limite è del tipo \(\displaystyle e^x \) \(\displaystyle \forall x \).
l'esercizio però mi chiede di trovare un intervallo nel quale la successione converge uniformemente.... cioè trovare un intervallo dove \(\displaystyle lim(sup|f_{n}\left( x \right)-f\left( x \right)|) =0\). come fare?
In questo caso \(\displaystyle f_{n}\left( x \right)=e^{\left( \frac{x}{n}+x \right)} \) so per certo che la successione non converge uniformemente perchè la sua funzione limite è del tipo \(\displaystyle e^x \) \(\displaystyle \forall x \).
l'esercizio però mi chiede di trovare un intervallo nel quale la successione converge uniformemente.... cioè trovare un intervallo dove \(\displaystyle lim(sup|f_{n}\left( x \right)-f\left( x \right)|) =0\). come fare?
Risposte
Hai provato con il lemma di Dini?
"dix93":
In questo caso \(\displaystyle f_{n}\left( x \right)=e^{\left( \frac{x}{n}+x \right)} \) so per certo che la successione non converge uniformemente perchè la sua funzione limite è del tipo \(\displaystyle e^x \) \(\displaystyle \forall x \).
l'esercizio però mi chiede di trovare un intervallo nel quale la successione converge uniformemente.... cioè trovare un intervallo dove \(\displaystyle lim(sup|f_{n}\left( x \right)-f\left( x \right)|) =0\). come fare?
Perché sai per certo che non converge uniformemente ?
$f_n(x) \to e^x$ puntualmente $AA x$
Per studiare la convergenza uniforme, in questo caso:
$lim_(n\tooo) ||f_n - f||_oo = lim_(n\tooo) ||e^(x/n+x) - e^x||_oo = lim_(n\tooo) ||e^x(e^(x/n)-1)||_oo ... $ e via dicendo...
ho provato come dici... e mi esce un punto di massimo che è x=0.
poi faccio il limite di \(\displaystyle {f}_{{n}}{\left({0}\right)} - {f}{\left({0}\right)} = 0 \)... quindi da questo deduco che dovrebbe convergere uniformemente?!
il problema è che il testo dell'esercizio dice che non converge uniformemente, e che bisogna trovare un intervallo dove questa convergenza è accettata.
PS \(\displaystyle {f}_{{n}}{\left({x}\right)}\to{{e}}^{{x}} \) per ogni \(\displaystyle x \), il valore di \(\displaystyle e^x \) non cambia ad ogni x? quindi non dovrebbe essere banalmente non convergente uniformemente?
poi faccio il limite di \(\displaystyle {f}_{{n}}{\left({0}\right)} - {f}{\left({0}\right)} = 0 \)... quindi da questo deduco che dovrebbe convergere uniformemente?!
il problema è che il testo dell'esercizio dice che non converge uniformemente, e che bisogna trovare un intervallo dove questa convergenza è accettata.
PS \(\displaystyle {f}_{{n}}{\left({x}\right)}\to{{e}}^{{x}} \) per ogni \(\displaystyle x \), il valore di \(\displaystyle e^x \) non cambia ad ogni x? quindi non dovrebbe essere banalmente non convergente uniformemente?
"dix93":
ho provato come dici... e mi esce un punto di massimo che è x=0.
Mmm... ? Sicuro ?
di sicuro ho sbagliato.... non dovrebbe avere un sup.... ed invece a me esce 0 :\
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