Convergenza uniforme nelle successioni di funzioni
Salve, ho delle difficolta' con un tipo di successioni di funzioni. Precisamente quelle che come limite puntuale hanno una f(x) e non un valore numerico.
Mi spiego meglio con un esercizio.
Ad es voglio studiare la convergenza di questa successione di funzione:
$ f_n(x)= (x^(n-1)+log(x^n))/(x^n) $
il cui limite puntuale e' 1/x.
Derivo e cerco di trovare il massimo, senonche' la derivata si annulla per x=0 ed e' li che mi trovo in difficolta'.
Il log non e' definito per x=0 quindi non so precisamente come comportarmi.
Grazie per l'attenzione prestatami, non esitate a frustarmi per eventuali errori.
Fabio/Suppish
Mi spiego meglio con un esercizio.
Ad es voglio studiare la convergenza di questa successione di funzione:
$ f_n(x)= (x^(n-1)+log(x^n))/(x^n) $
il cui limite puntuale e' 1/x.
Derivo e cerco di trovare il massimo, senonche' la derivata si annulla per x=0 ed e' li che mi trovo in difficolta'.
Il log non e' definito per x=0 quindi non so precisamente come comportarmi.
Grazie per l'attenzione prestatami, non esitate a frustarmi per eventuali errori.
Fabio/Suppish
Risposte
"Suppish":
Ad es voglio studiare la convergenza di questa successione di funzione:
$ f_n(x)= (x^(n-1)+log(x^n))/(x^n) $
il cui limite puntuale e' 1/x.
Mmmm... Dove?
Infatti, semplificando un po' si ottiene:
[tex]$f_n(x)=\frac{1}{x} +\frac{n}{x^n}\ \ln x$[/tex]
quindi per [tex]$x>1$[/tex] è [tex]$\lim_n f_n(x) =\frac{1}{x}$[/tex]; ma per [tex]$0
"Suppish":
Derivo e cerco di trovare il massimo, senonche' la derivata si annulla per x=0 ed e' li che mi trovo in difficolta'.
Il log non e' definito per x=0 quindi non so precisamente come comportarmi.
Derivi chi? Il massimo di chi? E dove?
La situazione esposta vale tra [1,+ $ oo $ ], dove devo studiare la convergenza.
Per la convergenza uniforme dovrei ricercare il sup, o piu' semplicemente il max visto che $f_n(x)$
e' continua ed e' derivabile (sempre considerato l'intervallo [1,+ $ oo $ ]. Giusto?
Per la convergenza uniforme dovrei ricercare il sup, o piu' semplicemente il max visto che $f_n(x)$
e' continua ed e' derivabile (sempre considerato l'intervallo [1,+ $ oo $ ]. Giusto?
La definizione che cerchi dire è la seguente: [tex]$\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[1;+\infty)}\bigg|\frac{1}{x}+\frac{n}{x^n}\log(x^n)-\frac{1}{x}\bigg|=\hdots$[/tex]
Se tale limite fosse 0 allora tale successione sarebbe uniformemente convergente in [tex]$[1;+\infty)$[/tex]!
Se tale limite fosse 0 allora tale successione sarebbe uniformemente convergente in [tex]$[1;+\infty)$[/tex]!
"Suppish":
La situazione esposta vale tra [1,+ $ oo $ ], dove devo studiare la convergenza.
Per la convergenza uniforme dovrei ricercare il sup, o piu' semplicemente il max visto che $f_n(x)$
e' continua ed e' derivabile (sempre considerato l'intervallo [1,+ $ oo $ ]. Giusto?
Devi cercare l'estremo superiore della funzione continua [tex]$|f_n-f|$[/tex] in [tex]$[1,+\infty[$[/tex]; visto che l'insieme non è compatto, potresti anche non trovare massimo assoluto (il teorema di Weierstrass non vale su insiemi non compatti).
Tuttavia [tex]$|f_n(x)-f(x)| =\frac{n}{x^n}\ \ln x$[/tex] è infinitesima all'infinito, quindi il massimo assoluto lo trovi (è sempre Weierstrass, ma opportunamente modificato); il fatto che essa sia di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ti dice che gli estremi vanno cercati tra i punti critici, quindi devi studiarti la derivata dello scarto [tex]$|f_n-f|$[/tex] e trarne le dovute conseguenze.
"gugo82":
Devi cercare l'estremo superiore della funzione continua [tex]$|f_n-f|$[/tex] in [tex]$[1,+\infty[$[/tex]; visto che l'insieme non è compatto, potresti anche non trovare massimo assoluto (il teorema di Weierstrass non vale su insiemi non compatti).
Tuttavia [tex]$|f_n(x)-f(x)| =\frac{n}{x^n}\ \ln x$[/tex] è infinitesima all'infinito, quindi il massimo assoluto lo trovi (è sempre Weierstrass, ma opportunamente modificato); il fatto che essa sia di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ti dice che gli estremi vanno cercati tra i punti critici, quindi devi studiarti la derivata dello scarto [tex]$|f_n-f|$[/tex] e trarne le dovute conseguenze.
Perfetto, seguendo questa strada, mi trovo. Riapplico lo stesso ragionamento ad un esercizio simile, in cui devo dimostrare che converge uniformemente (per vedere se ho capito).
$f_n(x)= (logx-x^(n+2))/x^n$
Ho un intervallo non compatto $[1,+00]$ per cui studio il sup con un limite per $x->1^-$ che e' uguale a -2. Cerco, essendo questa ancora di classe C^(00) il sup tra i punti critici, derivando pero' mi trovo di fronte una funzione le cui radici non sono immediate da ricercare.:
$x^(-n-1)(1-nlogx)-4x$
Perché [tex]$x\to1^-$[/tex]? Forse vorrai dire per [tex]$x\to1^+$[/tex]!
Si scusa, $1^+$ ....sono abbbastanza spaesato da questa situaizone 
Se avessi capito bene ti verrebbe [tex]$\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[1;+\infty)}|f_n(x)-f(x)|=-2$[/tex]? Ove [tex]$f(x)=-x^2$[/tex]? 
Esattamente
A meno dei possibili errori tale successione non sarebbe uniformemente convergente in tale intervallo! 
Scusami, hai sbagliato in quanto [tex]$\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[1;+\infty)}|f_n(x)-f(x)|=\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[1;+\infty)}\bigg|\frac{\log x}{x^n}\bigg|=\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[1;+\infty)}\frac{\log x}{x^n}\geq0$[/tex]!
Che disattento che sono.
Che disattento che sono.
Perdonami ma non ho capito l'errore.
Da quanto ho studiato diciamo che se non ho un intervallo compatto per lo studio del sup devo ricorrere ai teoremi sulla monotonia. In questo specifico caso mi ritrovo una funzione il cui limite puntuale e' $-x^2$ e stando al testo devo dimostrare che converge uniformemente nell'intervallo a noi noto.
Ora se ho $ lim_(n -> oo ) (Sup_(x ε[1,+oo))(| f_n(x)-f(x)|)) =lim_(n -> oo ) (Sup_(x ε[1,+oo)) (|(log(x)-x^(n+2))/x^n-x^2|) $ questo dovrebbe essere 0 per avere uniforme convergenza, ma 0 non e'.
Da quanto ho studiato diciamo che se non ho un intervallo compatto per lo studio del sup devo ricorrere ai teoremi sulla monotonia. In questo specifico caso mi ritrovo una funzione il cui limite puntuale e' $-x^2$ e stando al testo devo dimostrare che converge uniformemente nell'intervallo a noi noto.
Ora se ho $ lim_(n -> oo ) (Sup_(x ε[1,+oo))(| f_n(x)-f(x)|)) =lim_(n -> oo ) (Sup_(x ε[1,+oo)) (|(log(x)-x^(n+2))/x^n-x^2|) $ questo dovrebbe essere 0 per avere uniforme convergenza, ma 0 non e'.
Il problema da quanto ho potuto capire risiede nella determinazione dello stesso sup.
Studiandolo con i teoremi sulla monotonia, mi trovo un valore negativo che essendo costante non permette l-uniforme continuita', mentre con le derivate il max non sembra esserci.
Studiandolo con i teoremi sulla monotonia, mi trovo un valore negativo che essendo costante non permette l-uniforme continuita', mentre con le derivate il max non sembra esserci.
Metti i tuoi conti!
Per determinare l'estremo superiore di [tex]$\frac{\log x}{x^n}$[/tex] devi determinare il massimo di tale funzione in quanto è limitata in [tex]$[1;+\infty)$[/tex] mediante la derivata prima di essa funzione (rispetto alla [tex]$x$[/tex]). E se notassi bene questa funzione è non negativa in tale intervallo!
Per determinare l'estremo superiore di [tex]$\frac{\log x}{x^n}$[/tex] devi determinare il massimo di tale funzione in quanto è limitata in [tex]$[1;+\infty)$[/tex] mediante la derivata prima di essa funzione (rispetto alla [tex]$x$[/tex]). E se notassi bene questa funzione è non negativa in tale intervallo!
Ho trovato il imo errore.
$f(x) = -x^2$ quindi devo fare il sup di $|(log(x)-x^(n+2))/x^n+x^2|$ non $|(log(x)-x^(n+2))/x^n-x^2|$ e quindi si riduce al solo studio de $log(x)/x^n$ e mi trovo con il risultato.
Grazie mille per la pazienza mostrata che almeno lei non sembra averlo il sup.
$f(x) = -x^2$ quindi devo fare il sup di $|(log(x)-x^(n+2))/x^n+x^2|$ non $|(log(x)-x^(n+2))/x^n-x^2|$ e quindi si riduce al solo studio de $log(x)/x^n$ e mi trovo con il risultato.
Grazie mille per la pazienza mostrata che almeno lei non sembra averlo il sup.
Prego, di nulla! 
Su questo forum non ci si dà del "lei" o "del" voi ma solo del "tu".
Su questo forum non ci si dà del "lei" o "del" voi ma solo del "tu".
Lei era riferito alla tua pazienza
Non si era capito!
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