Convergenza uniforme [I]

[Rebdiluca]

Ciao, sono di nuovo alle prese con questo tipo di esercizi. Ho a che fare con la successione di funzioni:
$ fn(x)=(n^2-x^2)^2/((n^2-x^2)^2+1) $
e viene chiesto per quali $ x $ appartenenti a R converge e di calcolarne il limite; inoltre determinare almeno un intervallo non degenere in cui la convergenza sia uniforme.

Abbastanza facilmente ho determinato il limite puntuale, che è $ f(x)=1 $. Per stabilire la convergenza uniforme, considero $ |fn(x)-f(x)|=|1/((n^2-x^2)^2+1)| $. Essendo una funzione pari, considero l'intervallo $ [0, +infty) $ e trovo che il massimo si ottiene per $ x=n $ e trovo che vale $ 1 $. In questo modo trovo che $ lim_(n -> +infty) $ dell'estremo superiore è proprio $ 1 $. Non so se sono stato molto chiaro, ma qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Raptorista1]

Sì, le funzioni di questa successione hanno tutte una "gobba" che tocca \(y=1\) in \(x = n\), e al crescere di \(n\) questa gobba "scappa" all'infinito...

[Rebdiluca]

Grazie per la conferma! Quello che volevo chiedere era: c'è convergenza uniforme? Perché da come ho capito non dovrebbe esserci (o almeno non dovrebbe esserci in un intorno di infinito).

[dissonance]

"Robert96":Grazie per la conferma! Quello che volevo chiedere era: c'è convergenza uniforme? Perché da come ho capito non dovrebbe esserci (o almeno non dovrebbe esserci in un intorno di infinito).

esatto