Convergenza uniforme Fourier

DavideGenova1
Ciao, amici!
Sto studiando la dimostrazione della convergenza uniforme della serie di Fourier: se $f$ è una funzione di periodo $2\pi$ tale che è derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···i = 1,...,N ed inoltre $f$ è continua in $RR$, allora $f$ converge uniformemente in $RR$. Non mi è chiaro perché si richieda la continuità... Qualcuno sarebbe così gentile da delucidarmi un po' la questione?
Il mio libro dimostra il teorema osservando che, chiamati $a_n$ i coefficienti dei coseni e $b_n$ quelli dei seni, basta dimostrare che \( \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) \) converge, condizione che, secondo il criterio di Weierstrass, assicura che la serie di Fourier \(a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)\) converga uniformemente. Applicando la disuguaglianza di Bessel ai coefficienti, chiamati $a'_n$ e $b'_n$ per coseni e seni, della serie di Fourier della derivata $f'$ di $f$ si ha (notando che sussistono le uguaglianze $na_n=-b'_n$ e $nb_n=a'_n$):
$\sum_{n=1}^{oo} n^2(a_n^2+b_n^2)=\sum_{n=1}^{oo} (a'_n^2+b'_n^2)<=1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^2 dx < +oo$.
Utilizzando il fatto che $AAx,y in RR\text{ }2xy<=x^2+y^2$ sia ha che
$2|a_n|+2|b_n|=2n|a_n|*1/n+2n|b_n|*1/n<=n^2a_n^2+1/n^2+n^2b_n^2+1/n^2$
e quindi \( \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) \) è maggiorata da \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2}(a_n^2+b_n^2)+\frac{1}{n^2} \) che converge perché somma di due serie convergenti.
Sarà il feddo che mi intontisce, ma non capisco dove si utilizzi la continuità di $f$, eccetto che negli intervalli in cui esiste la derivata (che non mi pare che si richieda che esista nei vari $x_i$)...
Grazie di cuore a tutti!!!

P.S.: La pagina dove trovo la dimostrazione nel mio libro è la 72 di V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, vol. 2.

Risposte
Rigel1
La continuità di \(f\) è una condizione necessaria per avere la convergenza uniforme, dal momento che una serie di funzioni continue, uniformemente convergente, converge necessariamente ad una funzione continua.
L'uso di tale ipotesi è nascosto nelle uguaglianze \(n a_n = -b_n'\) e \( n b_n = a_n'\); quando, per dimostrare tali identità, vai a fare l'integrazione per parti è necessario infatti che \(f\) sia una primitiva di \(f'\), cosa che ovviamente non può succedere se \(f\) non è continua.

DavideGenova1
Grazie di cuore, Rigel!!!!

DavideGenova1
Riflettendo nuovamente sulla dimostrazione, per poter derivare $f$ termine a termine ed arrivare quindi alle uguaglianze $na_n=-b'_n$ e $nb_n=a_n'$*, non bisogna, per le condizioni (perlomeno sufficienti) del teorema di derivazione per serie, supporre che $\sum_{n=0}^{\infty}f_n'$ sia uniformemente convergente ? Perché qui possiamo derivare $f$ termine a termine?
Grazie di cuore di nuovo!!!!!!!!


*Che mi sono ricalcolato nel caso più generale di un periodo T come \(\frac{2\pi n}{T}a_n=-b'_n\) e \(\frac{2\pi n}{T}b_n=a'_n\), integrando per parti e tenendo conto del fatto che mi pare che, chiamando \(\mathcal{F}\) una serie di Fourier, \(\mathcal{F}(\frac{T}{2})=\mathcal{F}(-\frac{T}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) (ponendo $a_0$ come addendo diverso dai coefficienti dei seni e coseni, che a volte viene vedo invece scritto \(\frac{a_0}{2}\)).

Rigel1
Tu hai le due funzioni \(f\) ed \(f'\), entrambi sviluppabili in serie di Fourier; per ognuna di esse puoi calcolare i coefficienti di Fourier. Dopo scopri che vale la relazione citata fra i coefficienti, purché \(f\) sia una funzione integrale di \(f'\) (per poter fare l'integrazione per parti).
Non c'è bisogno di nessuna convergenza.

DavideGenova1
Grazie, mi hai salvato veramente... Mi rimane un dubbio: il mio libro pone come condizione della disuguaglianza di Bessel la cosiddetta condizione (D), condizione che non mi pare sia soddisfatta in generale dalla $f'$ di questa dimostrazione (mentre è -direi- certamente limitata, dato che $f$ soddisfa la condizione (D))...
Come mi hai spiegato gentilissimamente proprio tu, una funzione con derivata avente la proprietà definita nella condizione (D) è sicuramente limitata e, avendo per tale condizione un numero finito di discontinuità, direi che è necessariamente integrabile. Ho trovato limitatezza e integrabilità (non esplicitamente nel mio libro, ma in Internet e grazie a Wnvl) di una funzione come condizioni (almeno sufficienti) alla validità della disuguaglianza di Bessel. Tuttavia, integrabilità + limitatezza e condizione (D) non sono equivalenti, vero? Ho trovato integrabilità e limitatezza citati anche come condizione della convergenza (puntuale, mi pare di capire) della serie di Fourier, come in questo interessantissimo sito (che unisce due mie passioni), il che sta cominciando a farmi pensare che integrabilità + limitatezza e condizione (D) sono in effetti equivalenti... Se fosse così, come si dimostra?
Se non chiedo troppo, ci sarebbe un'altra cosina che mi è poco chiara: il mio libro dice che una funzione $f$ di periodo $2\pi$ che soddisfi la condizione (D) ha serie di Fourier convergente puntualmente a \(\frac{1}{2}(\lim_{y \to x^+}f(y)+\lim_{y \to x^-}f(y))\): quindi la condizione (D) assicura che $f$ abbia un limite per ogni punto del dominio (e che non sia come certe funzioni oscillanti limitate ma senza un limite in certi punti)? Se sì, perché?
$\aleph_1$ grazie a Rigel e chiunque intervenga...!

*Vedo che molti autori chiamano così la condizione per cui $f$ è una funzione di periodo $2\pi$ (da tutte le dimostrazioni che ho letto direi che, sostituendo \(\frac{T}{2}\) a $\pi$ si ottengono risultati analoghi) tale che è derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···

Rigel1
Se una funzione è integrabile e limitata allora vale la disuguaglianza di Bessel.
Vedrai in seguito che tale disuguaglianza vale anche più in generale.

DavideGenova1
Grazie ancora, Rigel!!! In effetti, come mi pare di capire qua è addirittura sufficiente che $f$ sia solo integrabile perché valga la disuguaglianza di Bessel, vero?
Quando all'equivalenza tra condizione (D) e integrabilità+limitatezza, non direi affatto che esse equivalgano perché mi pare che \(f(x)=\text{cos}\frac{1}{x}\), pur non soddisfacendo (D) in $x=0$ dove ha una discontinuità di seconda specie sia integrabile in un intorno di 0... Tuttavia, sono sufficienti integrabilità+limitatezza ad assicurare la convergenza puntuale della serie di Fourier?
Grazie di cuore di nuovo!!!!!

Rigel1
La disuguaglianza di Bessel vale per le funzioni di \(L^2\) (vale a dire, le funzioni misurabili \(f:[0,T]\to\mathbb{R}\) tali che \(|f|^2\) sia integrabile secondo Lebesgue).
Tutte le funzioni Riemann-integrabili (dunque limitate, per definizione) su \([0,T]\) appartengono a tale classe.

L'ambiente più adatto per trattare questi argomenti è quello degli spazi di Hilbert.

DavideGenova1
$\aleph_1$ (anche se dovrei cominciare ad aumentare l'indice :) ) grazie!!! Ho troppa sete di matematica: agli spazi di Hilbert arriverò a p. 187 (sono alla settantina) :drinkers: e allora approfondirò la questione.
La condizione sufficiente di integrabilità e limitatezza su \([\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\) è anche valida affinché (chiamo $P_m$ un polinomio trigonometrico di ordine m) la quantità $\int_{-T/2}^{T/2} (f(x)-P_m)^2"d"x$ risulti minima per $P_m$ uguale al polinomio di Fourier, giusto?
Grazie di cuore di nuovo!!!

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