Convergenza uniforme Fourier
Ciao, amici!
Sto studiando la dimostrazione della convergenza uniforme della serie di Fourier: se $f$ è una funzione di periodo $2\pi$ tale che è derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···i = 1,...,N ed inoltre $f$ è continua in $RR$, allora $f$ converge uniformemente in $RR$. Non mi è chiaro perché si richieda la continuità... Qualcuno sarebbe così gentile da delucidarmi un po' la questione?
Il mio libro dimostra il teorema osservando che, chiamati $a_n$ i coefficienti dei coseni e $b_n$ quelli dei seni, basta dimostrare che \( \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) \) converge, condizione che, secondo il criterio di Weierstrass, assicura che la serie di Fourier \(a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)\) converga uniformemente. Applicando la disuguaglianza di Bessel ai coefficienti, chiamati $a'_n$ e $b'_n$ per coseni e seni, della serie di Fourier della derivata $f'$ di $f$ si ha (notando che sussistono le uguaglianze $na_n=-b'_n$ e $nb_n=a'_n$):
$\sum_{n=1}^{oo} n^2(a_n^2+b_n^2)=\sum_{n=1}^{oo} (a'_n^2+b'_n^2)<=1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^2 dx < +oo$.
Utilizzando il fatto che $AAx,y in RR\text{ }2xy<=x^2+y^2$ sia ha che
$2|a_n|+2|b_n|=2n|a_n|*1/n+2n|b_n|*1/n<=n^2a_n^2+1/n^2+n^2b_n^2+1/n^2$
e quindi \( \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) \) è maggiorata da \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2}(a_n^2+b_n^2)+\frac{1}{n^2} \) che converge perché somma di due serie convergenti.
Sarà il feddo che mi intontisce, ma non capisco dove si utilizzi la continuità di $f$, eccetto che negli intervalli in cui esiste la derivata (che non mi pare che si richieda che esista nei vari $x_i$)...
Grazie di cuore a tutti!!!
P.S.: La pagina dove trovo la dimostrazione nel mio libro è la 72 di V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, vol. 2.
Sto studiando la dimostrazione della convergenza uniforme della serie di Fourier: se $f$ è una funzione di periodo $2\pi$ tale che è derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···
Il mio libro dimostra il teorema osservando che, chiamati $a_n$ i coefficienti dei coseni e $b_n$ quelli dei seni, basta dimostrare che \( \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) \) converge, condizione che, secondo il criterio di Weierstrass, assicura che la serie di Fourier \(a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)\) converga uniformemente. Applicando la disuguaglianza di Bessel ai coefficienti, chiamati $a'_n$ e $b'_n$ per coseni e seni, della serie di Fourier della derivata $f'$ di $f$ si ha (notando che sussistono le uguaglianze $na_n=-b'_n$ e $nb_n=a'_n$):
$\sum_{n=1}^{oo} n^2(a_n^2+b_n^2)=\sum_{n=1}^{oo} (a'_n^2+b'_n^2)<=1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^2 dx < +oo$.
Utilizzando il fatto che $AAx,y in RR\text{ }2xy<=x^2+y^2$ sia ha che
$2|a_n|+2|b_n|=2n|a_n|*1/n+2n|b_n|*1/n<=n^2a_n^2+1/n^2+n^2b_n^2+1/n^2$
e quindi \( \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) \) è maggiorata da \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2}(a_n^2+b_n^2)+\frac{1}{n^2} \) che converge perché somma di due serie convergenti.
Sarà il feddo che mi intontisce, ma non capisco dove si utilizzi la continuità di $f$, eccetto che negli intervalli in cui esiste la derivata (che non mi pare che si richieda che esista nei vari $x_i$)...
Grazie di cuore a tutti!!!
P.S.: La pagina dove trovo la dimostrazione nel mio libro è la 72 di V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, vol. 2.
Risposte
La continuità di \(f\) è una condizione necessaria per avere la convergenza uniforme, dal momento che una serie di funzioni continue, uniformemente convergente, converge necessariamente ad una funzione continua.
L'uso di tale ipotesi è nascosto nelle uguaglianze \(n a_n = -b_n'\) e \( n b_n = a_n'\); quando, per dimostrare tali identità, vai a fare l'integrazione per parti è necessario infatti che \(f\) sia una primitiva di \(f'\), cosa che ovviamente non può succedere se \(f\) non è continua.
L'uso di tale ipotesi è nascosto nelle uguaglianze \(n a_n = -b_n'\) e \( n b_n = a_n'\); quando, per dimostrare tali identità, vai a fare l'integrazione per parti è necessario infatti che \(f\) sia una primitiva di \(f'\), cosa che ovviamente non può succedere se \(f\) non è continua.
Grazie di cuore, Rigel!!!!
Riflettendo nuovamente sulla dimostrazione, per poter derivare $f$ termine a termine ed arrivare quindi alle uguaglianze $na_n=-b'_n$ e $nb_n=a_n'$*, non bisogna, per le condizioni (perlomeno sufficienti) del teorema di derivazione per serie, supporre che $\sum_{n=0}^{\infty}f_n'$ sia uniformemente convergente ? Perché qui possiamo derivare $f$ termine a termine?
Grazie di cuore di nuovo!!!!!!!!
*Che mi sono ricalcolato nel caso più generale di un periodo T come \(\frac{2\pi n}{T}a_n=-b'_n\) e \(\frac{2\pi n}{T}b_n=a'_n\), integrando per parti e tenendo conto del fatto che mi pare che, chiamando \(\mathcal{F}\) una serie di Fourier, \(\mathcal{F}(\frac{T}{2})=\mathcal{F}(-\frac{T}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) (ponendo $a_0$ come addendo diverso dai coefficienti dei seni e coseni, che a volte viene vedo invece scritto \(\frac{a_0}{2}\)).
Grazie di cuore di nuovo!!!!!!!!
*Che mi sono ricalcolato nel caso più generale di un periodo T come \(\frac{2\pi n}{T}a_n=-b'_n\) e \(\frac{2\pi n}{T}b_n=a'_n\), integrando per parti e tenendo conto del fatto che mi pare che, chiamando \(\mathcal{F}\) una serie di Fourier, \(\mathcal{F}(\frac{T}{2})=\mathcal{F}(-\frac{T}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) (ponendo $a_0$ come addendo diverso dai coefficienti dei seni e coseni, che a volte viene vedo invece scritto \(\frac{a_0}{2}\)).
Tu hai le due funzioni \(f\) ed \(f'\), entrambi sviluppabili in serie di Fourier; per ognuna di esse puoi calcolare i coefficienti di Fourier. Dopo scopri che vale la relazione citata fra i coefficienti, purché \(f\) sia una funzione integrale di \(f'\) (per poter fare l'integrazione per parti).
Non c'è bisogno di nessuna convergenza.
Non c'è bisogno di nessuna convergenza.
Grazie, mi hai salvato veramente... Mi rimane un dubbio: il mio libro pone come condizione della disuguaglianza di Bessel la cosiddetta condizione (D), condizione che non mi pare sia soddisfatta in generale dalla $f'$ di questa dimostrazione (mentre è -direi- certamente limitata, dato che $f$ soddisfa la condizione (D))...
Come mi hai spiegato gentilissimamente proprio tu, una funzione con derivata avente la proprietà definita nella condizione (D) è sicuramente limitata e, avendo per tale condizione un numero finito di discontinuità, direi che è necessariamente integrabile. Ho trovato limitatezza e integrabilità (non esplicitamente nel mio libro, ma in Internet e grazie a Wnvl) di una funzione come condizioni (almeno sufficienti) alla validità della disuguaglianza di Bessel. Tuttavia, integrabilità + limitatezza e condizione (D) non sono equivalenti, vero? Ho trovato integrabilità e limitatezza citati anche come condizione della convergenza (puntuale, mi pare di capire) della serie di Fourier, come in questo interessantissimo sito (che unisce due mie passioni), il che sta cominciando a farmi pensare che integrabilità + limitatezza e condizione (D) sono in effetti equivalenti... Se fosse così, come si dimostra?
Se non chiedo troppo, ci sarebbe un'altra cosina che mi è poco chiara: il mio libro dice che una funzione $f$ di periodo $2\pi$ che soddisfi la condizione (D) ha serie di Fourier convergente puntualmente a \(\frac{1}{2}(\lim_{y \to x^+}f(y)+\lim_{y \to x^-}f(y))\): quindi la condizione (D) assicura che $f$ abbia un limite per ogni punto del dominio (e che non sia come certe funzioni oscillanti limitate ma senza un limite in certi punti)? Se sì, perché?
$\aleph_1$ grazie a Rigel e chiunque intervenga...!
*Vedo che molti autori chiamano così la condizione per cui $f$ è una funzione di periodo $2\pi$ (da tutte le dimostrazioni che ho letto direi che, sostituendo \(\frac{T}{2}\) a $\pi$ si ottengono risultati analoghi) tale che è derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···
Come mi hai spiegato gentilissimamente proprio tu, una funzione con derivata avente la proprietà definita nella condizione (D) è sicuramente limitata e, avendo per tale condizione un numero finito di discontinuità, direi che è necessariamente integrabile. Ho trovato limitatezza e integrabilità (non esplicitamente nel mio libro, ma in Internet e grazie a Wnvl) di una funzione come condizioni (almeno sufficienti) alla validità della disuguaglianza di Bessel. Tuttavia, integrabilità + limitatezza e condizione (D) non sono equivalenti, vero? Ho trovato integrabilità e limitatezza citati anche come condizione della convergenza (puntuale, mi pare di capire) della serie di Fourier, come in questo interessantissimo sito (che unisce due mie passioni), il che sta cominciando a farmi pensare che integrabilità + limitatezza e condizione (D) sono in effetti equivalenti... Se fosse così, come si dimostra?
Se non chiedo troppo, ci sarebbe un'altra cosina che mi è poco chiara: il mio libro dice che una funzione $f$ di periodo $2\pi$ che soddisfi la condizione (D) ha serie di Fourier convergente puntualmente a \(\frac{1}{2}(\lim_{y \to x^+}f(y)+\lim_{y \to x^-}f(y))\): quindi la condizione (D) assicura che $f$ abbia un limite per ogni punto del dominio (e che non sia come certe funzioni oscillanti limitate ma senza un limite in certi punti)? Se sì, perché?
$\aleph_1$ grazie a Rigel e chiunque intervenga...!
*Vedo che molti autori chiamano così la condizione per cui $f$ è una funzione di periodo $2\pi$ (da tutte le dimostrazioni che ho letto direi che, sostituendo \(\frac{T}{2}\) a $\pi$ si ottengono risultati analoghi) tale che è derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···
Se una funzione è integrabile e limitata allora vale la disuguaglianza di Bessel.
Vedrai in seguito che tale disuguaglianza vale anche più in generale.
Vedrai in seguito che tale disuguaglianza vale anche più in generale.
Grazie ancora, Rigel!!! In effetti, come mi pare di capire qua è addirittura sufficiente che $f$ sia solo integrabile perché valga la disuguaglianza di Bessel, vero?
Quando all'equivalenza tra condizione (D) e integrabilità+limitatezza, non direi affatto che esse equivalgano perché mi pare che \(f(x)=\text{cos}\frac{1}{x}\), pur non soddisfacendo (D) in $x=0$ dove ha una discontinuità di seconda specie sia integrabile in un intorno di 0... Tuttavia, sono sufficienti integrabilità+limitatezza ad assicurare la convergenza puntuale della serie di Fourier?
Grazie di cuore di nuovo!!!!!
Quando all'equivalenza tra condizione (D) e integrabilità+limitatezza, non direi affatto che esse equivalgano perché mi pare che \(f(x)=\text{cos}\frac{1}{x}\), pur non soddisfacendo (D) in $x=0$ dove ha una discontinuità di seconda specie sia integrabile in un intorno di 0... Tuttavia, sono sufficienti integrabilità+limitatezza ad assicurare la convergenza puntuale della serie di Fourier?
Grazie di cuore di nuovo!!!!!
La disuguaglianza di Bessel vale per le funzioni di \(L^2\) (vale a dire, le funzioni misurabili \(f:[0,T]\to\mathbb{R}\) tali che \(|f|^2\) sia integrabile secondo Lebesgue).
Tutte le funzioni Riemann-integrabili (dunque limitate, per definizione) su \([0,T]\) appartengono a tale classe.
L'ambiente più adatto per trattare questi argomenti è quello degli spazi di Hilbert.
Tutte le funzioni Riemann-integrabili (dunque limitate, per definizione) su \([0,T]\) appartengono a tale classe.
L'ambiente più adatto per trattare questi argomenti è quello degli spazi di Hilbert.
$\aleph_1$ (anche se dovrei cominciare ad aumentare l'indice 
) grazie!!! Ho troppa sete di matematica: agli spazi di Hilbert arriverò a p. 187 (sono alla settantina) 
e allora approfondirò la questione.
La condizione sufficiente di integrabilità e limitatezza su \([\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\) è anche valida affinché (chiamo $P_m$ un polinomio trigonometrico di ordine m) la quantità $\int_{-T/2}^{T/2} (f(x)-P_m)^2"d"x$ risulti minima per $P_m$ uguale al polinomio di Fourier, giusto?
Grazie di cuore di nuovo!!!
) grazie!!! Ho troppa sete di matematica: agli spazi di Hilbert arriverò a p. 187 (sono alla settantina) e allora approfondirò la questione.La condizione sufficiente di integrabilità e limitatezza su \([\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\) è anche valida affinché (chiamo $P_m$ un polinomio trigonometrico di ordine m) la quantità $\int_{-T/2}^{T/2} (f(x)-P_m)^2"d"x$ risulti minima per $P_m$ uguale al polinomio di Fourier, giusto?
Grazie di cuore di nuovo!!!
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