Convergenza uniforme e totale

[giulia5395]

Salve a tutti
Non ho ben chiaro come sia possibile verificare che una successione di funzioni non converge totalmente ma converge uniformemente. Spesso per verificare la convergenza uniforme ci rifacciamo a quella totale maggiorando il sup con una serie convergente, ma se non converge totalmente come faccio a dire che vi converge uniformemente?
Inoltre il mio prof mi ha fornito un esempio ma non riesco a capire il motivo delle sue conclusioni
La funzione è così definita: vale 1/n se x=1/n e 0 altrimenti. Mi ha detto che questa successione di funzioni converge puntualmente e uniformemente ma non totalmente. Come ha fatto a stabilire la convergenza uniforme?
Grazie anticipatamente della risposta

[Noisemaker]

per la verifica della convergenza uniforme di una successione di funzioni $f_n(x)$ devi verificare che
\[\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in I}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0.\]

Ad esempio, in $[0,1]$ la successione di funzioni $f_n(x):=(-1)^{n} x^n/n$ non converge totalmente (perche?) ma converge uniformemente ....

[giulia5395]

Ma se invece di avere la successione di funzione avessi avuto la serie di funzioni(definita come nel mio esempio) potevo comunque dire che convergeva uniformemente?