Convergenza uniforme e raggio di convergenza

[Alextorm1]

Se il raggio di convergenza di una serie di potenze è \(\displaystyle r \) allora la serie converge uniformemente su \(\displaystyle [-a,a], \forall a : 0 \leq a < r \). Non posso dire direttamente che la serie converge uniformemente su \(\displaystyle ]-r,r[ \) ?

[Seneca1]

No. Non è vero. Se prendi la dimostrazione della proposizione vedi subito che usi l'ipotesi che l'intervallo (all'interno del cerchio di convergenza) sia compatto per provare la convergenza totale e quindi quella uniforme.

Qui c'è un esempio che, anche se non tratta una serie di potenze, ti fa capire che dire "converge unif. in $[R , +oo)$ , $AA R > 0$" e dire "converge unif. in $(0,+oo)$" sono due cose diverse.

http://www.matematicamente.it/forum/successione-di-funzioni-convergenza-non-uniforme-t90451.html