Convergenza uniforme e passaggio del limite
Ciao a tutti, mi sto approcciando allo studio della convergenza uniforme e delle sue proprietà. I teoremi di scambio del limite con la derivata e/o l'integrale richiedono sempre come ipotesi la convergenza uniforme: perché è necessaria? Non può bastare la convergenza puntuale?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Ciao, ti dò un paio di esempi.
C'è un esempio molto chiaro sul testo Analisi 2 di de Marco (esempio 1.6.6, pagina 35). Considera, per $n ge 0$,
[tex]f_n(x) := \left\{ \begin{array}{ll} 2^{2n+2} x & x \in [0,1/2^{n+1}], \\
2^{n+2} (1-2^n x) & x \in ]1/2^{n+1},1/2^n], \\
0 & x \in [1/2^n,1].
\end{array} \right.[/tex]
Se fai un disegno vedi che sono tutti triangoli di base $1/2^n$, ma l'altezza è $2^(n+1)$, inoltre tale altezza è posizionata nel punto $1/2^(n+1)$ dell'asse $x$ (quindi quando $n$ cresce, l'altezza si avvicina sempre di più all'asse $y$). Da questi dati ti dovrebbe risultare chiaro che tutti questi triangoli hanno area $1$ e che la successione $f_n$ tende alla funzione nulla, ma non uniformemente (ogni $f_n$ ha picchi arbitrariamente alti).
Siccome tutti questi triangoli hanno area $1$, l'integrale $\int_0^1 f_n(x)$ vale $1$ per ogni $n$. Ma il limite puntuale delle $f_n$ è la funzione nulla quindi ha integrale nullo. Questo implica che l'operatore di integrazione (anche su intervalli limitati) non è continuo rispetto alla convergenza puntuale.
Riguardo la derivata, l'operatore di derivazione non è continuo rispetto alle convergenze uniformi. Il motivo è che "funzioni molto piccole possono essere molto ripide" (mentre per quanto riguarda gli integrali, "funzioni (uniformemente) piccole hanno aree piccole"). Per esempio considera
$f_n(x) := sin(nx)/n$ per $n ge 1$.
Questa successione converge uniformemente alla funzione nulla ma la sua derivata $f_n'(x) =cos(nx)$ converge solo per $x=0$ (sto leggendo a pagina 36).
C'è un esempio molto chiaro sul testo Analisi 2 di de Marco (esempio 1.6.6, pagina 35). Considera, per $n ge 0$,
[tex]f_n(x) := \left\{ \begin{array}{ll} 2^{2n+2} x & x \in [0,1/2^{n+1}], \\
2^{n+2} (1-2^n x) & x \in ]1/2^{n+1},1/2^n], \\
0 & x \in [1/2^n,1].
\end{array} \right.[/tex]
Se fai un disegno vedi che sono tutti triangoli di base $1/2^n$, ma l'altezza è $2^(n+1)$, inoltre tale altezza è posizionata nel punto $1/2^(n+1)$ dell'asse $x$ (quindi quando $n$ cresce, l'altezza si avvicina sempre di più all'asse $y$). Da questi dati ti dovrebbe risultare chiaro che tutti questi triangoli hanno area $1$ e che la successione $f_n$ tende alla funzione nulla, ma non uniformemente (ogni $f_n$ ha picchi arbitrariamente alti).
Siccome tutti questi triangoli hanno area $1$, l'integrale $\int_0^1 f_n(x)$ vale $1$ per ogni $n$. Ma il limite puntuale delle $f_n$ è la funzione nulla quindi ha integrale nullo. Questo implica che l'operatore di integrazione (anche su intervalli limitati) non è continuo rispetto alla convergenza puntuale.
Riguardo la derivata, l'operatore di derivazione non è continuo rispetto alle convergenze uniformi. Il motivo è che "funzioni molto piccole possono essere molto ripide" (mentre per quanto riguarda gli integrali, "funzioni (uniformemente) piccole hanno aree piccole"). Per esempio considera
$f_n(x) := sin(nx)/n$ per $n ge 1$.
Questa successione converge uniformemente alla funzione nulla ma la sua derivata $f_n'(x) =cos(nx)$ converge solo per $x=0$ (sto leggendo a pagina 36).
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