Convergenza uniforme e in \(L^1\)

[Alaska2]

Ciao a tutti, dovrei dimostrare quanto segue:

Sia \(f_n\in L^1(\Omega) :\quad \|f_n\|_{L^1(\Omega)}\leq C \quad \forall n\in\mathbb{N}\) e si assume che \(f_n \rightarrow f\) puntualmente \(\Omega\) q.o. Mostrare che:
i) se \(\mu(\Omega)<\infty \Rightarrow \forall \epsilon>0 \quad \exists A \subset \Omega \) , \(A\) misurabile e \(\mu(A)<\epsilon \), tale che \(f_n\rightarrow f\) uniformemente in \(\Omega\setminus A\);
ii) posto \(g_n(x)=\text{sup}_{k\geq n}|f_k(x)|\quad \Rightarrow\quad g_n\rightarrow |f|\) in \(L^1(\Omega)\);
iii) se assumiamo inoltre che \(\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 : \quad \forall B\subset \Omega\), con \(B\) misurabile e \(\mu(B)<\delta\quad \Rightarrow \quad \int_{B} |f_n|d\mu<\epsilon \), allora \(f_n\rightarrow f\) in \(L^1(\Omega)\).

Ho dimostrato la seconda proprietà e che \(f\in L^1(\Omega)\), ma non riesco a dimostrare la i) e la iii). Potete aiutarmi?
Ho pensato che forse la dimostrazione si può trovare su qualche libro.

[Rigel1]

Ho corretto gli enunciati di (i) e (iii), che contenevano errori.
(i) è noto come teorema di Egorov; la condizione in (iii) è invece la condizione di equi-integrabilità della successione.

[Alaska2]

Ti ringrazio, ho trovato entrambe le dimostrazioni ma non ho capito perché dici che la i) e la iii) vanno corrette.
Il punto i) mi sembra equivalente al teorema di cui parli (prendo \(A=\Omega\setminus B\) e vale \(\mu(\Omega\setminus B)<\epsilon\) e \(f_n\rightarrow f\) uniformemente in \(B\)).
E, poiché si dimostra che anche \(f\in L^1(\Omega)\), la condizione i) + la condizione iii) + la convergenza q.o. non implicano la convergenza in misura?
Quali sono gli errori?

[Rigel1]

Non ho detto che vanno corrette, ho detto che le ho già corrette