Convergenza Uniforme e Convergenza Puntuale - Esercizio
Data la:
$f(x)= \{(-t ,,, t epsilon [-pi , 0] ),(0 ,,, t epsilon [0 , pi]):}$
in soldoni come si fa a verificare che la serie converge puntualmente e uniformemente?Nonostante abbia visto la teoria nn riesco cmq a risolvere con facilità questo problema.
Grazie
$f(x)= \{(-t ,,, t epsilon [-pi , 0] ),(0 ,,, t epsilon [0 , pi]):}$
in soldoni come si fa a verificare che la serie converge puntualmente e uniformemente?Nonostante abbia visto la teoria nn riesco cmq a risolvere con facilità questo problema.
Grazie
Risposte
Quale serie?
Io credo che martinmistere si riferisca alla serie di Fourier associata alla funzione da lui indicata ... sarebbe bene che specificasse con chiarezza cosa vuole eche mostrasse almeno un tentativo di soluzione 
si scusate ho dimenticato di dire che si tratta di una serie di fourier. ho visto la teoria ma nn saprei proprio come metterci mano
Premetto una definizione e un teorema.
-Definizione
*La funzione $f : [0,T] rarr RR$ è regolare a tratti se la funzione è limitata e in ogni sottointervallo di $[0,T]$ la funzione è continua e derivabile ; inoltre agli estremi di ogni sottointervallo esistono finiti i limiti sia di $f(x)$ che di $ f '(x)$. [ $T $ è il periodo].
-Teorema sulla Convergenza puntuale della serie di Fourier alla funzione $f(x)$.
Se $f(x) $ è :continua e monotona (sempre crescente o sempre decrescente) in tutto$ [0,T]$ oppure continua in tutto $[0,T]$ e regolare a tratti,
allora la serie di Fourier converge puntualmente a $f(x)$ in ogni punto di $(0,T)$; converge anche agli estremi ( cioè in $ x=0$ e in $x=T $) se vale la condizione di raccordo :$ f(0) = f(T)$ [che garantisce la continuità in $RR$ della periodizzata ].
Se invece non è soddisfatta la condizione di raccordo , cioè $ f(0) ne f(T)$ allora agli estremi la serie di Fourier converge a $[f(0)+f(T)]/2$.
Applichiamo quanto scritto sopra alla funzione
$f(x)=-x $ per $x in [-pi,0]
$f(x)= 0 $ per $ x in (0,pi)$
La funzione periodizzata è regolare a tratti ma è discontinua agli estremi $ x= -pi, x=pi$.
Pertanto la serie converge puntualmente a $f(x) $ per $ x in(-pi,pi)$ mentre convergerà a $ 1/2[f(-pi)+f(pi)]=pi/2$ negli estremi.
-Definizione
*La funzione $f : [0,T] rarr RR$ è regolare a tratti se la funzione è limitata e in ogni sottointervallo di $[0,T]$ la funzione è continua e derivabile ; inoltre agli estremi di ogni sottointervallo esistono finiti i limiti sia di $f(x)$ che di $ f '(x)$. [ $T $ è il periodo].
-Teorema sulla Convergenza puntuale della serie di Fourier alla funzione $f(x)$.
Se $f(x) $ è :continua e monotona (sempre crescente o sempre decrescente) in tutto$ [0,T]$ oppure continua in tutto $[0,T]$ e regolare a tratti,
allora la serie di Fourier converge puntualmente a $f(x)$ in ogni punto di $(0,T)$; converge anche agli estremi ( cioè in $ x=0$ e in $x=T $) se vale la condizione di raccordo :$ f(0) = f(T)$ [che garantisce la continuità in $RR$ della periodizzata ].
Se invece non è soddisfatta la condizione di raccordo , cioè $ f(0) ne f(T)$ allora agli estremi la serie di Fourier converge a $[f(0)+f(T)]/2$.
Applichiamo quanto scritto sopra alla funzione
$f(x)=-x $ per $x in [-pi,0]
$f(x)= 0 $ per $ x in (0,pi)$
La funzione periodizzata è regolare a tratti ma è discontinua agli estremi $ x= -pi, x=pi$.
Pertanto la serie converge puntualmente a $f(x) $ per $ x in(-pi,pi)$ mentre convergerà a $ 1/2[f(-pi)+f(pi)]=pi/2$ negli estremi.
come hai fatto a dedurre che è discontinua in $x=-pi , x=pi$ ?hai disegnato semplicemente la funzione?e come mai $1/2[f(-pi)+f(pi)]=pi/2$?
Ho disegnato la funzione il che aiuta sempre e ho considerato, per come è definita la funzione, che $f(-pi)=pi ; f(pi)=0 $.
ah allora ho capito 
)
grazie mille
)grazie mille
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