Convergenza uniforme di una serie di funzioni

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho un problema con questo esercizio

Data la seguente serie di funzioni dire se la convergenza è uniforme.

$ sume^(kx) $

Questa è una serie geometrica di ragione $ e^x$ che quindi converge solo se

$ e^x <1 $ ovvero quando $ x < 0 $

Quindi l'eventuale convergenza uniforme va cercata nella regione che soddisfa la condizione $ x < 0 $

Ma come verifico se la convergenza è uniforme se la serie non converge totalmente in $ ( - oo , 0) $ ??
Mi aiutate? Grazie

[Kashaman]

Hai da considerare la serie numerica $\sum_{k}^\infty(e^x)^k$, riconducibile ad una serie di potenze del tipo $\sum_{k}^\infty(y)^k$ (*) con $y=e^x$. E convergerà per $|y|<1 => e^x<1 => x<0 => x \in (-\infty , 0)$.
Per Abel sai che la convergenza di (*) sarà totale, quindi uniforme, in ogni intervallo compatto $[a,b] sube (-1,1)$
Quindi , $ y \in [a,b] => e^x \in [a,b] => a<=e^x<=b$ Da cui distinguiamo due casi :
Se $a<=0 => x \in (-\infty,ln(b)]$ , altrimenti se $a >0 => x \in [ln(a),ln(b)]$.