Convergenza uniforme di una serie

[dragonspirit1]

salve a tutti sono alle prese con l'ultimo punto di un problema in cui alla fine mi chiede di stabilire se la serie converge uniformemente nell'intervallo $ [0,+oo[ $ .

la serie è la seguente $ f_n(x)={ ( 1 " " " se "n^2x):} $

dato che con il procedere della sommatoria n^2 supererà x per ogni x devo solo considerare la "coda " della successione quindi studio la convergenza uniforme della $ 1/(n^2-x) $
L'M-Test non funziona ( non sono riuscito a trovare alcuna successione numerica convergente maggiorante)

$ f_n(x)=1/(n^2-x) rightarrow (partial f_n)/(partial x) =1/(n^2-x)^2 rightarrow "non ha max" $

converge puntualmente a 0 quindi applicando la definizione mi ritroverei a ristudiare la funzione sopraddetta.
quindi secondo me non converge uniformemente.

Ma il teorema dei due limiti è verificato (il primo punto del tema era proprio il calcolo dei due limiti):

$ lim_(xrightarrow+oo)(lim_(nrightarrow+oo) f_n(x))=lim_(nrightarrow+oo)(lim_(xrightarrow+oo) f_n(x)) $
$ { ( 1 ),( 0):}={ ( 1 ),( 0):} $

quindi in teoria non dovrebbe convergere uniformemente?

[ciampax]

A me non pare proprio che quel teorema sia una condizione necessaria e sufficiente, no? Voglio dire, esso afferma che se hai convergenza uniforme, allora puoi invertire i limiti. Ma potresti benissimo avere l'inversione dei limiti senza la convergenza, non ti pare?

[dragonspirit1]

potrebbe anche essere il professore c'è l'ha solo accennato....che poi ora mi sorge un dobbio...
se faccio tendere prima la x ad infinito e poi n il limite non fa 1?

[ciampax]

I conti non li avevo fatti, però effettivamente, così ad occhio, mi pare che se fai i limiti in quest'ordine: $n,\ x$ ottieni la funzione costante zero, e nell'altro ottieni la funzione costante 1.