Convergenza uniforme di $(t+ix)^{-\beta}$
Ho una domanda secca su una cosa che credo non sia avanzata, ma che non sono in grado di risolvere.
La famiglia di funzioni di variabile reale $x$ (a valori complessi) seguente:
$$g_t(x)=(t+ix)^{-\beta}, \beta>0$$
converge uniformemente (rispetto a $x$ in un qualunque intervallo chiuso) quando $t\to 0^+$? Se sì, come si può dimostrare?
Grazie in anticipo.
La famiglia di funzioni di variabile reale $x$ (a valori complessi) seguente:
$$g_t(x)=(t+ix)^{-\beta}, \beta>0$$
converge uniformemente (rispetto a $x$ in un qualunque intervallo chiuso) quando $t\to 0^+$? Se sì, come si può dimostrare?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Silent,
Da quanto hai scritto sembrerebbe che $t$ prenda il posto di $n$ e così si capisce che la famiglia di funzioni è $g_t(x) $ e cosa accade per $t \to +\infty $, però poi
Ti confesso che questa cosa mi ha un po' spiazzato, perché onestamente da quanto hai scritto avevo dedotto che $ t \in \NN $, $i$ fosse l'unità immaginaria, $x \in \RR $ e $\beta \in \RR_+ $, ma se ho capito male correggimi pure...
"Silent":
La famiglia di funzioni di variabile reale $x$ (a valori complessi) [...]
Da quanto hai scritto sembrerebbe che $t$ prenda il posto di $n$ e così si capisce che la famiglia di funzioni è $g_t(x) $ e cosa accade per $t \to +\infty $, però poi
"Silent":
[...] quando $t \to 0^+$
Ti confesso che questa cosa mi ha un po' spiazzato, perché onestamente da quanto hai scritto avevo dedotto che $ t \in \NN $, $i$ fosse l'unità immaginaria, $x \in \RR $ e $\beta \in \RR_+ $, ma se ho capito male correggimi pure...
Ciao e grazie del tuo tempo.
È tutto giusto eccetto l’insieme in cui si muove t: non è naturale, è reale e tende a 0 da destra.
Perché la cosa ti suona strana? Volevo valutare la convergenza uniforme di quel limite, anche se esso non è fatto sui naturali.
È tutto giusto eccetto l’insieme in cui si muove t: non è naturale, è reale e tende a 0 da destra.
Perché la cosa ti suona strana? Volevo valutare la convergenza uniforme di quel limite, anche se esso non è fatto sui naturali.
Non sono sicuro che sia ben definita quella funzione. Devi specificare una determinazione del logaritmo. Se la \(x\) si può avvicinare arbitrariamente a zero sono sicuro che hai problemi.
Capisco dalla tua risposta di dover studiare variabile complessa. Così sia allora, mi metterò sotto 
Aggiungo solo la genesi di questo problema, magari salta fuori che non devo passare per l'analisi complessa...
Quello che mi premeva giustificare (da cui nasceva la domanda fatta nel primo messaggio) era questo passaggio:
\(\displaystyle \lim_{t\to 0^+}\int_{\nu=-\infty}^{\infty}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu)\mathrm{d}\nu = \int_{\nu=-\infty}^{\infty}\lim_{t\to 0^+}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu)\mathrm{d}\nu\)
dove $F(\nu)$ è una funzione infinitamente differenziabile su tutto $\mathbb{R}$ e tale che lei e tutte le sue derivate sono un $O(|x|^{-N})$ per $|x|\to +\infty$, per ogni $N$.
Per quello che ho imparato fino ad oggi, per portare quel limite dentro l'integrale dovevo controllare due cose:
1) la convergenza uniforme, rispetto a $t\in\mathbb{R}^+$, dell'integrale \(\displaystyle \int_{\nu=-\infty}^{\infty}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu)\mathrm{d}\nu \), cosa che mi è riuscita facilmente usando il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme;
2) la convergenza uniforme, rispetto a $\nu$ in qualsiasi intervallo chiuso di $\mathbb{R}$, del limite \(\displaystyle \lim_{t\to 0^+}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu) \), da cui nasceva la domanda nel primo messaggio di questa discussione.
Quello che mi premeva giustificare (da cui nasceva la domanda fatta nel primo messaggio) era questo passaggio:
\(\displaystyle \lim_{t\to 0^+}\int_{\nu=-\infty}^{\infty}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu)\mathrm{d}\nu = \int_{\nu=-\infty}^{\infty}\lim_{t\to 0^+}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu)\mathrm{d}\nu\)
dove $F(\nu)$ è una funzione infinitamente differenziabile su tutto $\mathbb{R}$ e tale che lei e tutte le sue derivate sono un $O(|x|^{-N})$ per $|x|\to +\infty$, per ogni $N$.
Per quello che ho imparato fino ad oggi, per portare quel limite dentro l'integrale dovevo controllare due cose:
1) la convergenza uniforme, rispetto a $t\in\mathbb{R}^+$, dell'integrale \(\displaystyle \int_{\nu=-\infty}^{\infty}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu)\mathrm{d}\nu \), cosa che mi è riuscita facilmente usando il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme;
2) la convergenza uniforme, rispetto a $\nu$ in qualsiasi intervallo chiuso di $\mathbb{R}$, del limite \(\displaystyle \lim_{t\to 0^+}(t+i2\pi \nu)^{-\beta}F(\nu) \), da cui nasceva la domanda nel primo messaggio di questa discussione.
Dove hai trovato questo integrale?
Sul libro di Lighthill, introduction to Fourier analysis and generalised function, di cui avevamo accennato qualche discussione fa.
Vabbé, non ti fissare troppo su questi dettagli. Comunque sia $\beta>0$, quindi in ogni caso quella funzione integranda decade esponenzialmente a infinito, quindi è chiaro che funzionerà tutto. Come dice L. Evans, meglio fare prima i conti e poi, se si arriva a un risultato sensibile, si pensa a come giustificarli formalmente.
Infatti il dubbio ce l’avevo in prossimità di 0, all’infinito è tutto a posto. 
Allora, le cose stanno così. Aldilà della teoria, convergenza uniforme, convergenza dominata, bla bla bla. Quando è che non si può scambiare il limite con l'integrale? Pensiamo a un integrale come a una "massa totale", che potrebbe anche avere segno negativo o addirittura essere complessa, come qui. Ci sono essenzialmente solo due scenari che possono falsificare la formula
\[\tag{1}
\lim_{n\to \infty}\int_{\mathbb R^d} f_n(x)\, dx=\int_{\mathbb R^d} \lim_{n\to \infty} f_n(x)\, dx.\]
Il primo è lo scenario "mass escapes to infinity". Ad esempio prendi una funzione $f$ a supporto compatto e considera \(f_n(x-nv)\), dove \(v\ne 0\) è un vettore fissato. In questo caso, \(\lim_{n\to \infty} f_n(x)=0\), ma l'integrale non è mai nullo, quindi il membro sinistro di (1) non è zero.
Il secondo è lo scenario "mass concentrates to a point". Ad esempio prendi la stessa \(f\) di prima e considera
\[
f_n(x)=n^{-d}f(n^{-1}x).\]
Anche qui, il limite puntuale è zero ma l'integrale a membro sinistro è costante in \(n\) e quindi non è zero.
Questo che ho appena scritto non è un teorema, perché ci sono una miriade di considerazioni tecniche da fare; l'argomento che si occupa di questa roba si chiama "concentration-compactness" (se leggi il francese, puoi dare un'occhiata al seminario dell'École Polytechnique di Lions padre, mi pare si chiami "Concentration-compacité dans le calcul de variations". C'è anche un articolo pionieristico di Sergio Solimini del Politecnico di Bari su questo argomento, ingiustamente dimenticato a favore della scuola francese).
Comunque sia, vedi bene come a livello intuitivo qui non siamo in nessuno dei due scenari. Non ci sono traslazioni, non ci sono termini che si concentrano e spariscono in un punto, quindi è chiaro che si possono scambiare i limiti. Continuiamo a leggere e cerchiamo di capire le parti *veramente* importanti del nostro libro, invece di perderci in questi noiosi dettagli tecnici.
\[\tag{1}
\lim_{n\to \infty}\int_{\mathbb R^d} f_n(x)\, dx=\int_{\mathbb R^d} \lim_{n\to \infty} f_n(x)\, dx.\]
Il primo è lo scenario "mass escapes to infinity". Ad esempio prendi una funzione $f$ a supporto compatto e considera \(f_n(x-nv)\), dove \(v\ne 0\) è un vettore fissato. In questo caso, \(\lim_{n\to \infty} f_n(x)=0\), ma l'integrale non è mai nullo, quindi il membro sinistro di (1) non è zero.
Il secondo è lo scenario "mass concentrates to a point". Ad esempio prendi la stessa \(f\) di prima e considera
\[
f_n(x)=n^{-d}f(n^{-1}x).\]
Anche qui, il limite puntuale è zero ma l'integrale a membro sinistro è costante in \(n\) e quindi non è zero.
Questo che ho appena scritto non è un teorema, perché ci sono una miriade di considerazioni tecniche da fare; l'argomento che si occupa di questa roba si chiama "concentration-compactness" (se leggi il francese, puoi dare un'occhiata al seminario dell'École Polytechnique di Lions padre, mi pare si chiami "Concentration-compacité dans le calcul de variations". C'è anche un articolo pionieristico di Sergio Solimini del Politecnico di Bari su questo argomento, ingiustamente dimenticato a favore della scuola francese).
Comunque sia, vedi bene come a livello intuitivo qui non siamo in nessuno dei due scenari. Non ci sono traslazioni, non ci sono termini che si concentrano e spariscono in un punto, quindi è chiaro che si possono scambiare i limiti. Continuiamo a leggere e cerchiamo di capire le parti *veramente* importanti del nostro libro, invece di perderci in questi noiosi dettagli tecnici.
Bellissimo, grazie mille.
Come sai io vado avanti a “mozzichi e bocconi” perché faccio tutto da autodidatta, a volte queste visioni intuitive mi mancano e quindi tendo a controllare tutto perché ho sempre il dubbio di fare passi falsi.
Grazie mille di nuovo per questa bellissima spiegazione
Come sai io vado avanti a “mozzichi e bocconi” perché faccio tutto da autodidatta, a volte queste visioni intuitive mi mancano e quindi tendo a controllare tutto perché ho sempre il dubbio di fare passi falsi.
Grazie mille di nuovo per questa bellissima spiegazione
Ah a proposito ultima cosa (scusa se sono pesante).
Posso dire senza troppi giri che quello scambio è possibile solo se $\beta$, oltre a essere positivo, è anche <1? Questo perché se guardo direttamente il risultato finale, vedo che se ciò non accade non converge nelle vicinanze dello zero.
Posso dire senza troppi giri che quello scambio è possibile solo se $\beta$, oltre a essere positivo, è anche <1? Questo perché se guardo direttamente il risultato finale, vedo che se ciò non accade non converge nelle vicinanze dello zero.
Certo, se \(\beta\) è troppo grande l'integrale a membro destro non converge.
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