Convergenza uniforme di successioni di funzioni
Salve a tutti questo è uno dei miei primi topic e spero di non trasgredire nessuna regola....
Prima di tutto mi complimento con voi per il forum....davvero bello e ben organizzato...
Ora vi proprongo un esercizio sul quale ho delle defficoltà relative alla ricerca della convergenza uniforme:
[tex]\sqrt[3]{n} \log x \over 1+\sqrt[3]{n}\log ^2x[/tex]
Il mio procedimento è stato questo:
Ho verificato il comportamento della successione di funzioni calcolando[tex]f_n(1)[/tex]ottenendo 0 per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
poi per x \neq 1 ho calcolato
[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty } f_n(x)={1 \over \log x}[/tex]
la [tex]f_n(x)[/tex] converge puntualmente alla[tex]f(x)=\[\begin{sistema} 0 \\ 1 \over \log x\end{sistema}\][/tex]
Ora mi sono calcolato la derivata e mi trovo
[tex]\sqrt[3]{n} / x \cdot (1-\sqrt[3]{n}\log x) \over (1+\sqrt[3]{n}\log x)^2[/tex]
Adesso per dire che uniformemente convergente vorrei applicare la condizione necessaria e sufficiente dei sup
e quindi prendo il suo punto stazionario che dovrebbe essere
[tex]x=e^{1 \over \sqrt[3]{n}}[/tex]
che per [tex]n \rightarrow +\infty[/tex]è uguale ad 1 e quindi non converge uniformemente...
Ora vi espongo i miei dubbi xD
Secondo voi il metodo che ho usato è corretto?
Se ho un punto stazionario che non ha la n come faccio premettendo che mi trovi nella stessa situazione di adesso cioè che la fn a 0 è 0 e che a[tex]n \rightarrow +\infty[/tex] tende a 0?
Spero di essere stato chiaro con i procedimenti e mi scuso in anticipo se dovesse esserci qualche errore nelle formule dato che è la prima volta che scrivo così
Vi ringrazio in anticipo
Un saluto
Prima di tutto mi complimento con voi per il forum....davvero bello e ben organizzato...
Ora vi proprongo un esercizio sul quale ho delle defficoltà relative alla ricerca della convergenza uniforme:
[tex]\sqrt[3]{n} \log x \over 1+\sqrt[3]{n}\log ^2x[/tex]
Il mio procedimento è stato questo:
Ho verificato il comportamento della successione di funzioni calcolando[tex]f_n(1)[/tex]ottenendo 0 per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
poi per x \neq 1 ho calcolato
[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty } f_n(x)={1 \over \log x}[/tex]
la [tex]f_n(x)[/tex] converge puntualmente alla[tex]f(x)=\[\begin{sistema} 0 \\ 1 \over \log x\end{sistema}\][/tex]
Ora mi sono calcolato la derivata e mi trovo
[tex]\sqrt[3]{n} / x \cdot (1-\sqrt[3]{n}\log x) \over (1+\sqrt[3]{n}\log x)^2[/tex]
Adesso per dire che uniformemente convergente vorrei applicare la condizione necessaria e sufficiente dei sup
e quindi prendo il suo punto stazionario che dovrebbe essere
[tex]x=e^{1 \over \sqrt[3]{n}}[/tex]
che per [tex]n \rightarrow +\infty[/tex]è uguale ad 1 e quindi non converge uniformemente...
Ora vi espongo i miei dubbi xD
Secondo voi il metodo che ho usato è corretto?
Se ho un punto stazionario che non ha la n come faccio premettendo che mi trovi nella stessa situazione di adesso cioè che la fn a 0 è 0 e che a[tex]n \rightarrow +\infty[/tex] tende a 0?
Spero di essere stato chiaro con i procedimenti e mi scuso in anticipo se dovesse esserci qualche errore nelle formule dato che è la prima volta che scrivo così
Vi ringrazio in anticipo
Un saluto
Risposte
Benvenuto nel forum. Per essere la prima volta che usi questo linguaggio di scrittura delle formule te la cavi più che egregiamente! C'era solo un piccolo problema con \over che ho corretto usando i permessi da moderatore:
era [tex]\lim_{n\to \infty}f(x)= 1 \over \log(x)[/tex]
ora è [tex]\lim_{n\to \infty}f(x)= {1 \over \log(x)}[/tex] (passa il mouse sulle formule per leggere velocemente il codice).
Per venire alla matematica, il risultato è corretto ma sarebbe stato meglio (IMHO) procedere così: Siamo d'accordo che
[tex]f_n(x)\to f(x)=\begin{cases} 0 & x=1 \\ {1 \over \log(x)} & x\ne 1\end{cases}[/tex] per ogni [tex]x > 0[/tex].
Questa è una convergenza puntuale, ora vogliamo vedere se la convergenza è uniforme, ovvero se
[tex]$\lVert f_n - f\rVert_\infty=\sup_{x>0} \lvert f_n(x)-f(x) \rvert \to 0[/tex] quando [tex]n\to \infty[/tex].
A questo scopo occorre calcolare o almeno stimare [tex]\lVert f_n -f \rVert_\infty[/tex]. Oppure, se si sospetta che la convergenza non sia uniforme, supporre per assurdo che invece lo sia e vedere se si arriva ad una contraddizione. Tutte cose, queste, che sicuramente sai già ma le sto ripetendo per la massima chiarezza.
Ecco cosa fa Maple se gli chiediamo di disegnare i primi 30 grafici della successione [tex]f_n(x)[/tex]:
Si capisce che intorno ad [tex]x=1[/tex] ci saranno problemi. Infatti, la funzione [tex]f(x)[/tex] non è continua in [tex]x=1[/tex], mentre tutte le [tex]f_n[/tex] sono continue ovunque. Questo implica che la convergenza NON può essere uniforme su alcun intervallo contenente [tex]1[/tex]. Lo stesso risultato avevi ottenuto tu ma qui non si è fatto neanche un calcolo, se ci fai caso.
era [tex]\lim_{n\to \infty}f(x)= 1 \over \log(x)[/tex]
ora è [tex]\lim_{n\to \infty}f(x)= {1 \over \log(x)}[/tex] (passa il mouse sulle formule per leggere velocemente il codice).
Per venire alla matematica, il risultato è corretto ma sarebbe stato meglio (IMHO) procedere così: Siamo d'accordo che
[tex]f_n(x)\to f(x)=\begin{cases} 0 & x=1 \\ {1 \over \log(x)} & x\ne 1\end{cases}[/tex] per ogni [tex]x > 0[/tex].
Questa è una convergenza puntuale, ora vogliamo vedere se la convergenza è uniforme, ovvero se
[tex]$\lVert f_n - f\rVert_\infty=\sup_{x>0} \lvert f_n(x)-f(x) \rvert \to 0[/tex] quando [tex]n\to \infty[/tex].
A questo scopo occorre calcolare o almeno stimare [tex]\lVert f_n -f \rVert_\infty[/tex]. Oppure, se si sospetta che la convergenza non sia uniforme, supporre per assurdo che invece lo sia e vedere se si arriva ad una contraddizione. Tutte cose, queste, che sicuramente sai già ma le sto ripetendo per la massima chiarezza.
Ecco cosa fa Maple se gli chiediamo di disegnare i primi 30 grafici della successione [tex]f_n(x)[/tex]:
Si capisce che intorno ad [tex]x=1[/tex] ci saranno problemi. Infatti, la funzione [tex]f(x)[/tex] non è continua in [tex]x=1[/tex], mentre tutte le [tex]f_n[/tex] sono continue ovunque. Questo implica che la convergenza NON può essere uniforme su alcun intervallo contenente [tex]1[/tex]. Lo stesso risultato avevi ottenuto tu ma qui non si è fatto neanche un calcolo, se ci fai caso.
Ciao prima di tutto ti ringrazio per la risposta e per i complimenti 
che è chiara ed esauriente,ma che sopratutto mi fa riflettere sul fatto che per istinto di solito mi precipito un po troppo frettolosamente nei calcoli!!!
Mi scuso però per averti risposto solo adesso ma ho avuto dei problemi con internet e quindi tra studio e impegni non sono riuscito a sistemare i problemi della connessione
Siccome ho dei dubbi sulla convergenza uniforme volevo chiederti alcune cose se non è una scocciatura...
1)Seguendo il tuo ragionamento,per applicarlo ad altre funzioni di successioni,mi devo trovare nella condizione in cui a più infinito la funzione tende a 0 e che ci sia un punto che crea problemi alla funzione puntuale f(x)?
2)Mi hanno spiegato che di solito è meglio fare i calcoli per verificare certe cose;quindi,supposto che la funzione di successioni converga a 0 a più infinito,se mi calcolo la derivata e ottengo un normalissimo punto di massimo senza n tipo 1/2 posso dire subito che converge uniformemente?Nel caso in cui la derivata non ha proprio nessun minimo o massimo,ma è o strettamente crescente o strettamente descrescente,si può dire che non converge uniformemente?
3)Aggiungp quest'altra domanda....Ho visto in alcuni esercizi che, per applicare la condizione sufficiente della convergenza uniforme,è stato trovato il pto stazionario,è stato messo nella funzione al posto della x e poi è stato calcolato il limite...perchè è stato fatto questo?Non bastava fare il limite del pto stazionario?
Ti ringrazio se mi chiarisci questi due dubbi grossi come una casa perchè sono le sole due cose che non ho capito per sviluppare gli esercizi...
[edit]
Vorrei chiedere,se non è un problema,anche delle cose su due esercizi riguardanti delle applicazioni sul teorema di passaggio a limite sotto il segno di derivata e di integrale....
che è chiara ed esauriente,ma che sopratutto mi fa riflettere sul fatto che per istinto di solito mi precipito un po troppo frettolosamente nei calcoli!!!Mi scuso però per averti risposto solo adesso ma ho avuto dei problemi con internet e quindi tra studio e impegni non sono riuscito a sistemare i problemi della connessione
Siccome ho dei dubbi sulla convergenza uniforme volevo chiederti alcune cose se non è una scocciatura...
1)Seguendo il tuo ragionamento,per applicarlo ad altre funzioni di successioni,mi devo trovare nella condizione in cui a più infinito la funzione tende a 0 e che ci sia un punto che crea problemi alla funzione puntuale f(x)?
2)Mi hanno spiegato che di solito è meglio fare i calcoli per verificare certe cose;quindi,supposto che la funzione di successioni converga a 0 a più infinito,se mi calcolo la derivata e ottengo un normalissimo punto di massimo senza n tipo 1/2 posso dire subito che converge uniformemente?Nel caso in cui la derivata non ha proprio nessun minimo o massimo,ma è o strettamente crescente o strettamente descrescente,si può dire che non converge uniformemente?
3)Aggiungp quest'altra domanda....Ho visto in alcuni esercizi che, per applicare la condizione sufficiente della convergenza uniforme,è stato trovato il pto stazionario,è stato messo nella funzione al posto della x e poi è stato calcolato il limite...perchè è stato fatto questo?Non bastava fare il limite del pto stazionario?
Ti ringrazio se mi chiarisci questi due dubbi grossi come una casa perchè sono le sole due cose che non ho capito per sviluppare gli esercizi...
[edit]
Vorrei chiedere,se non è un problema,anche delle cose su due esercizi riguardanti delle applicazioni sul teorema di passaggio a limite sotto il segno di derivata e di integrale....
Gli esercizi sui teoremi di derivazione e integrazione è meglio se li tratti in un post a parte. Per il resto i tuoi punti 1, 2, 3 io li scarterei dalla mente. Non è così che devi ragionare, ma sempre applicando le definizioni: data una successione di funzioni $f_n$, convergente puntualmente ad una funzione $f$ (questa funzione, negli esercizi, è facile da determinare), si dice che la convergenza è uniforme se succede un certo fenomeno che sappiamo (vedi post sopra). In questo caso vale il teorema di continuità: una successione di funzioni continue, se converge uniformemente, converge uniformemente ad una funzione continua.
Solo con questi strumenti puoi già risolvere tutti gli esercizi di tipo "determinare se la successione converge uniformemente". Le altre considerazioni su punti stazionari che dipendono da $n$, derivate crescenti o decrescenti, ecc... buttale via.
Solo con questi strumenti puoi già risolvere tutti gli esercizi di tipo "determinare se la successione converge uniformemente". Le altre considerazioni su punti stazionari che dipendono da $n$, derivate crescenti o decrescenti, ecc... buttale via.
Ti ringrazio sei stato veramente gentilissimo!!!!
Adesso ho capito anche meglio ciò che mi hai spiegato perchè ho da poco ripassato i teoremi e quindi ho afferrato al volo i concetti!!!
per quanto riguarda le applicazioni dei teoremi allora apriro' un altro post...
un ultima cosa
nell'eventualità in cui dovessi incontrare qualche altro problema con qualche esercizio posso postare il mio dubbio?
Io per prevenire qualche violazione del regolamento cerco sempre nel forum,ma su questo argomento non trovo molto...
ti ringrazio per la disponibilità!!
ps ma maple è un software free?perchè lo vedo particolarmente utile!!
Adesso ho capito anche meglio ciò che mi hai spiegato perchè ho da poco ripassato i teoremi e quindi ho afferrato al volo i concetti!!!
per quanto riguarda le applicazioni dei teoremi allora apriro' un altro post...
un ultima cosa
nell'eventualità in cui dovessi incontrare qualche altro problema con qualche esercizio posso postare il mio dubbio?
Io per prevenire qualche violazione del regolamento cerco sempre nel forum,ma su questo argomento non trovo molto...
ti ringrazio per la disponibilità!!
ps ma maple è un software free?perchè lo vedo particolarmente utile!!
Ma si certo, il regolamento non deve diventare una ossessione! Posta pure i tuoi dubbi.
E Maple non è un software free. Anzi, costicchia pure un po' (ma molto meno del suo rivale Mathematica). Se cerchi software free per il calcolo simbolico, o calcolo numerico o per i grafici, ce ne sono parecchi: dipende da cosa vuoi fare. Io ti consiglio vivamente di prendere confidenza con questi strumenti, se usati correttamente possono dare moltissimo.
E Maple non è un software free. Anzi, costicchia pure un po' (ma molto meno del suo rivale Mathematica). Se cerchi software free per il calcolo simbolico, o calcolo numerico o per i grafici, ce ne sono parecchi: dipende da cosa vuoi fare. Io ti consiglio vivamente di prendere confidenza con questi strumenti, se usati correttamente possono dare moltissimo.
grazie dissonance per la tua disponibilità mi sono posto il problema di postare perchè non volevo risultare petulante 
Eseguendo qualche esercizio ho trovato questa funzione di successioni
[tex]f_n(x)=((\sqrt[2]{2e}) x/ e^{x^2})^n[/tex]
Ho verificato che converge puntualmente alla funzione f(x)=0 imponendo che la quantità tra parentesi fosse compresa tra 0 e 1 in modo tale da ricondurmi al limite notevole [tex]x^n[/tex] .
Adesso,dopo aver verificato che non ci sono teoremi da applicare per dire subito che è uniformemente confergente (almeno a me non è venuto in mente nulla
) ,ho pensato che l'unica cosa che si debba fare sia quella di vedere il comportamento di questa funzione di successioni studiandomi la derivata.
ho trovato la derivata uguale a
[tex](1-2x^2)n{x}^{n-1} \sqrt[2]{2e^n} \over {e}^{nx^2}[/tex]
e il pto stazionario x=[tex]\pm \sqrt{2} \over 2[/tex]
Adesso posso concludere che la [tex]f_n(x)[/tex] converge uniformemente per |x|>[tex]\sqrt{2} \over 2[/tex]?
Ti ringrazio ancora per le risposte che mi dai....credimi mi stai aiutando non poco!te ne sono grato!!!
Eseguendo qualche esercizio ho trovato questa funzione di successioni
[tex]f_n(x)=((\sqrt[2]{2e}) x/ e^{x^2})^n[/tex]
Ho verificato che converge puntualmente alla funzione f(x)=0 imponendo che la quantità tra parentesi fosse compresa tra 0 e 1 in modo tale da ricondurmi al limite notevole [tex]x^n[/tex] .
Adesso,dopo aver verificato che non ci sono teoremi da applicare per dire subito che è uniformemente confergente (almeno a me non è venuto in mente nulla
) ,ho pensato che l'unica cosa che si debba fare sia quella di vedere il comportamento di questa funzione di successioni studiandomi la derivata.ho trovato la derivata uguale a
[tex](1-2x^2)n{x}^{n-1} \sqrt[2]{2e^n} \over {e}^{nx^2}[/tex]
e il pto stazionario x=[tex]\pm \sqrt{2} \over 2[/tex]
Adesso posso concludere che la [tex]f_n(x)[/tex] converge uniformemente per |x|>[tex]\sqrt{2} \over 2[/tex]?
Ti ringrazio ancora per le risposte che mi dai....credimi mi stai aiutando non poco!te ne sono grato!!!
[N.B.: Si dice "successione di funzioni", non "funzione di successioni". 
]
No, non è corretto il tuo ragionamento. Partiamo dalla convergenza puntuale: devi fissare [tex]x[/tex] e calcolare il limite per [tex]n \to +\infty[/tex] di [tex]f_n(x)[/tex]. Hai ragione a dire che è [tex]0[/tex] quando [tex]x[/tex] è in un certo intervallo, e che non esiste finito quando [tex]x[/tex] è nel resto della retta reale. Ma devi argomentare a dovere. Prova, se non ci riesci te lo dico io. Poi si penserà alla convergenza uniforme
]No, non è corretto il tuo ragionamento. Partiamo dalla convergenza puntuale: devi fissare [tex]x[/tex] e calcolare il limite per [tex]n \to +\infty[/tex] di [tex]f_n(x)[/tex]. Hai ragione a dire che è [tex]0[/tex] quando [tex]x[/tex] è in un certo intervallo, e che non esiste finito quando [tex]x[/tex] è nel resto della retta reale. Ma devi argomentare a dovere. Prova, se non ci riesci te lo dico io. Poi si penserà alla convergenza uniforme
Ti ricordo, inoltre, che per determinare il sup (per la verifica della convergenza uniforme), non è sufficiente ricercare i punti stazionari.
Grazie ragazzi mi metto all'opera per definire meglio questi aspetti!
Allora eccomi qui con i mei conticini 
Dissonance...ho provato a discutere in questo modo...
se $0 +oo ) f_n(x)=0$
Dovrei determinare i valori che vanno fatti graficamente e,utilizzando derive,ho visto che sono estreni ai punti di intersezione tra una parabola con vertice in 0,0 e la funzione $log xsqrt(2e) $
Invece
se $ sqrt(2e)x / e^{x^2}>1\ lim_(x -> +oo ) f_n(x)=+oo$
se $ sqrt(2e)x / e^{x^2}<-1\ lim_(x -> +oo ) f_n(x)= "non esiste" $
Spero di aver ragionato bene
Grazie ancora per l'aiuto
[mod="dissonance"]Formule corrette. Avevi scritto in linguaggio ASCIIMathML ma usato i tag per il linguaggio TeX. Anche se simili i due linguaggi non sono uguali - il primo è una versione semplificata del secondo. Ho eliminato i "[tex]" e racchiuso le formule tra i simboli del dollaro \$ ... \$ che sono specifici di ASCIIMathML.[/mod]
Dissonance...ho provato a discutere in questo modo...
se $0
Dovrei determinare i valori che vanno fatti graficamente e,utilizzando derive,ho visto che sono estreni ai punti di intersezione tra una parabola con vertice in 0,0 e la funzione $log xsqrt(2e) $
Invece
se $ sqrt(2e)x / e^{x^2}>1\ lim_(x -> +oo ) f_n(x)=+oo$
se $ sqrt(2e)x / e^{x^2}<-1\ lim_(x -> +oo ) f_n(x)= "non esiste" $
Spero di aver ragionato bene
Grazie ancora per l'aiuto
[mod="dissonance"]Formule corrette. Avevi scritto in linguaggio ASCIIMathML ma usato i tag per il linguaggio TeX. Anche se simili i due linguaggi non sono uguali - il primo è una versione semplificata del secondo. Ho eliminato i "[tex]" e racchiuso le formule tra i simboli del dollaro \$ ... \$ che sono specifici di ASCIIMathML.[/mod]
E' giusta l'impostazione ma le disequazioni no, che dici? Io avrei detto
per ogni $x$ tale che $-1<(\sqrt{2e}) x/ e^{x^2}<1$, abbiamo che $f_n(x)\to0$;
per ogni $x$ tale che $(\sqrt{2e}) x/ e^{x^2}<=-1$, abbiamo che $f_n(x)$ non converge;
per ogni $x$ tale che $1=(\sqrt{2e}) x/ e^{x^2}$, abbiamo che $f_n(x)\to1$;
per tutte le altre $x$, $f_n(x)\to+\infty$.
Giusto?
per ogni $x$ tale che $-1<(\sqrt{2e}) x/ e^{x^2}<1$, abbiamo che $f_n(x)\to0$;
per ogni $x$ tale che $(\sqrt{2e}) x/ e^{x^2}<=-1$, abbiamo che $f_n(x)$ non converge;
per ogni $x$ tale che $1=(\sqrt{2e}) x/ e^{x^2}$, abbiamo che $f_n(x)\to1$;
per tutte le altre $x$, $f_n(x)\to+\infty$.
Giusto?
Io mi trovo con te perchè basta applicare le condizioni del limite notevole $x^n$
Ah ho notato che la prima disequazione l'ho sbagliata
Cmq una volta detto ciò posso procedere per la convergenza uniforme no?
A questo punto devo studiarmi un po il comportamento della funzione e vedere se posso applicare la condizione dei sup?
grazie ancora per l'aiuto!!!
Ah ho notato che la prima disequazione l'ho sbagliata
Cmq una volta detto ciò posso procedere per la convergenza uniforme no?
A questo punto devo studiarmi un po il comportamento della funzione e vedere se posso applicare la condizione dei sup?
grazie ancora per l'aiuto!!!
Va bene ma prima cerca dii scrivere un po' meglio la funzione limite. Intendo una scrittura come
$f(x)={(0, "condizioni"\ 1), (1, "condizioni"\ 2):}$
sempre che sia possibile determinare esplicitamente le condizioni (non credo). Nel caso non fosse possibile lasciale in forma dipendente da parametri: per esempio $"condizioni"\ 1$ sarà una cosa del tipo $a
$f(x)={(0, "condizioni"\ 1), (1, "condizioni"\ 2):}$
sempre che sia possibile determinare esplicitamente le condizioni (non credo). Nel caso non fosse possibile lasciale in forma dipendente da parametri: per esempio $"condizioni"\ 1$ sarà una cosa del tipo $a
Eccola qui...spero di averla scritta in modo corretto perchè ieri non riuscivo proprio a scriverla ed ho preferito farlo adesso a mente fresca
$ f(x){ ( 0, -11),(1, sqrt(2e) x / e^{x^2} =1),(O/, sqrt(2e) x / e^{x^2}<-1 ):} $
Adesso scritta la funzione f(x) che è chiaramente discontinua devo vedere la convergenza uniforme...
il caso 2 e 3 mi sembra da scartare a priori....rimane il 1° caso in cui la funzione $-e^{x^2}
Grazie ancora Dissonance!!
Ps ho provato maple e devo dire che è fantastico devo solo prenderci un po di confidenza
$ f(x){ ( 0, -1
Adesso scritta la funzione f(x) che è chiaramente discontinua devo vedere la convergenza uniforme...
il caso 2 e 3 mi sembra da scartare a priori....rimane il 1° caso in cui la funzione $-e^{x^2}
Grazie ancora Dissonance!!
Ps ho provato maple e devo dire che è fantastico devo solo prenderci un po di confidenza
Ho riflettuto un po sulla successione di funzioni e sono arrivato alla conclusione che è anche uniformente convergente e vi spiego perchè:
A noi fondamentalmente ci interessa il caso in cui $f_(x)=0$ e lo è solo quando l'argomento tra parentesi è compreso tra -1 ed 1.
Quindi andando a vedere il comportamento della funzione essa assume due massimi in $sqrt(2) / 2$ e $-sqrt(2) / 2$ che sono contenuti nell'intervallo [-1,1].
In conclusione è uniformemente convergente con quelle particolari condizioni
Inoltre ho verificato con maple e spero di non aver fatto qualche errore
A noi fondamentalmente ci interessa il caso in cui $f_(x)=0$ e lo è solo quando l'argomento tra parentesi è compreso tra -1 ed 1.
Quindi andando a vedere il comportamento della funzione essa assume due massimi in $sqrt(2) / 2$ e $-sqrt(2) / 2$ che sono contenuti nell'intervallo [-1,1].
In conclusione è uniformemente convergente con quelle particolari condizioni
Inoltre ho verificato con maple e spero di non aver fatto qualche errore
che ne pensate allora di questo ragionamento è corretto?
secondo voi si puo' concludere che converge uniformemente??
secondo voi si puo' concludere che converge uniformemente??
Ciao Wells, scusa se non sto più dedicando tempo a questo topic... Una cosa al volo: sicuramente la successione di funzioni non converge uniformemente in tutto l'insieme di definizione della $f$. E te ne accorgi subito perché $f$ non è continua mentre le $f_n$ lo sono tutte.
Comunque, un consiglio: abbandona questo esercizio per adesso. Il fatto che l'insieme di definizione della $f$ non si riesca ad esprimere in modo semplice è una complicazione che è meglio affrontare più avanti. Fai qualche altro esercizio, prima, sulla convergenza. Posta qui i tuoi risultati e tempo permettendo vedrò di dare un'occhiata.
Comunque, un consiglio: abbandona questo esercizio per adesso. Il fatto che l'insieme di definizione della $f$ non si riesca ad esprimere in modo semplice è una complicazione che è meglio affrontare più avanti. Fai qualche altro esercizio, prima, sulla convergenza. Posta qui i tuoi risultati e tempo permettendo vedrò di dare un'occhiata.
ti ringrazio dissonance sei gentilissimo e non preoccuparti per me quando puoi/vuoi io sono qui con i miei esercizietti...
Io fondamentalmente ho le idee confuse per quanto riguarda la ricerca dell'uniforme continuità della successione di funzioni;quindi,ti chiedo solo dei piccoli chiarimenti,prima di intraprendere altri esercizi,sulla procedura per la ricerca della convergenza uniforme non su tutto l'insieme di definizione.Detto questo ti ringrazio per la tua gentilezza e l'enorme disponibilità.
Chiarito qusto mio dubbio faro' altri esercizi in modo da migliorare le mie capacità...
grazie ancora!!
Io fondamentalmente ho le idee confuse per quanto riguarda la ricerca dell'uniforme continuità della successione di funzioni;quindi,ti chiedo solo dei piccoli chiarimenti,prima di intraprendere altri esercizi,sulla procedura per la ricerca della convergenza uniforme non su tutto l'insieme di definizione.Detto questo ti ringrazio per la tua gentilezza e l'enorme disponibilità.
Chiarito qusto mio dubbio faro' altri esercizi in modo da migliorare le mie capacità...
grazie ancora!!
La teoria da sapere è piuttosto contenuta, in ultima analisi si tratta di un paio di definizioni e del teorema sulla continuità del limite uniforme. Chiaro poi che ci sono moltissimi altri risultati ma per questo tipo di esercizi, in linea di massima, non servono. Serve poi la conoscenza delle tecniche di calcolo di base (alias studio di funzione) per calcolare il massimo della distanza dal $n$-esimo termine della successione dalla funzione limite. Prova a portare qualche esempio concreto così lo vediamo insieme.
Salve a tutti anche io ho problemi con la convergenza uniforme.Il punto è che non riesco a capire esattamente come si fa a determinare se una successione di funzioni converge o meno uniformemente.Poi se non converge ho visto a lezione che si doveva determinare se per alcuni valori la funzione converge o meno uniformente.La prof studiava la derivata trovava il punto stazionario e poi applicava la condizione sufficiente per la convergenza uniforme facendo il limite del punto stazionario.Se era uguale a 0 allora la successione di funzioni convergeva uniformemente
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