Convergenza uniforme di serie di funzioni
Consideriamo la successione di funzioni [tex]f_n : A \rightarrow R[/tex] con [tex]n \in N[/tex]
Mi chiedo se è vero il seguente
Teorema
Se [tex]f_n >0[/tex] (ovvero le funzioni sono a valori positivi) e se [tex]f_n \rightarrow 0[/tex] uniiformemente, allora [tex]$ \sum_{n=0}^{\infty} f_n$[/tex] converge uniformemente in [tex]A[/tex]
A dir la verità non so se il teorema è giusto o sbagliato, qulcuno tempo fa me lo face vedere, ho provato ad iniziare la dimostrazione, non so se è la strada giusta e ad ogni modo non saprei continuare.
Dim
Per ipotesi le funzioni sono infinitesime e la successione converge uniformente a [tex]0[/tex], il che vuol dire che
[tex]$\forall \epsilon>0 \quad \exists r$[/tex] tale che [tex]$|f_n (x)|< \epsilon \qquad \forall n>r \quad \forall x \in A$[/tex]
Dunque una serie di funzioni converge uniformente in un insieme se le somme parziali convergono uniformente come successioni di funzioni nel medesimo insieme, in questo caso
[tex]$s= \sum_{n=0}^{k} f_n$[/tex]
In questo caso la funzione [tex]s[/tex] è limitata , usando quanto abbiamo appena detto infatti
[tex]$s= \sum_{n=0}^{k} f_n < k \cdot \epsilon$[/tex] da un certo [tex]$m$[/tex] in poi.
Il problema è: [tex]s[/tex] converge uniformentente?
In generale, mi pare una cosa difficile fare le somme parziali e provare la convergenza della successione di funzioni, c'è un metodo pratico alternativo? La convergenza totale aiuta, ma se una successione non converge totalmente non vuol dire che non lo faccia uniformente.
Mi chiedo se è vero il seguente
Teorema
Se [tex]f_n >0[/tex] (ovvero le funzioni sono a valori positivi) e se [tex]f_n \rightarrow 0[/tex] uniiformemente, allora [tex]$ \sum_{n=0}^{\infty} f_n$[/tex] converge uniformemente in [tex]A[/tex]
A dir la verità non so se il teorema è giusto o sbagliato, qulcuno tempo fa me lo face vedere, ho provato ad iniziare la dimostrazione, non so se è la strada giusta e ad ogni modo non saprei continuare.
Dim
Per ipotesi le funzioni sono infinitesime e la successione converge uniformente a [tex]0[/tex], il che vuol dire che
[tex]$\forall \epsilon>0 \quad \exists r$[/tex] tale che [tex]$|f_n (x)|< \epsilon \qquad \forall n>r \quad \forall x \in A$[/tex]
Dunque una serie di funzioni converge uniformente in un insieme se le somme parziali convergono uniformente come successioni di funzioni nel medesimo insieme, in questo caso
[tex]$s= \sum_{n=0}^{k} f_n$[/tex]
In questo caso la funzione [tex]s[/tex] è limitata , usando quanto abbiamo appena detto infatti
[tex]$s= \sum_{n=0}^{k} f_n < k \cdot \epsilon$[/tex] da un certo [tex]$m$[/tex] in poi.
Il problema è: [tex]s[/tex] converge uniformentente?
In generale, mi pare una cosa difficile fare le somme parziali e provare la convergenza della successione di funzioni, c'è un metodo pratico alternativo? La convergenza totale aiuta, ma se una successione non converge totalmente non vuol dire che non lo faccia uniformente.
Risposte
No
$f_n(x) = 1/n$ per ogni $x \in RR$
$f_n(x) = 1/n$ per ogni $x \in RR$
Non è vero perché non vale nemmeno per le serie numeriche.
Prendi ad esempio
$f_n(x) = \frac{1}{n}$, $x\in RR$.
EDIT: non avevo visto il messaggio precedente...
Prendi ad esempio
$f_n(x) = \frac{1}{n}$, $x\in RR$.
EDIT: non avevo visto il messaggio precedente...
"gac":No, no, si vede lontano un miglio che hai scopiazzato
EDIT: non avevo visto il messaggio precedente...
Quella è una condizione necessaria per la convergenza uniforme, ma non sufficiente. Esattamente come per le serie numeriche. Probabilmente è questo che ti hanno mostrato. Prova a dimostrarlo, mimando la dimostrazione dell'analoga proposizione per le serie numeriche. Ah, e non serve richiedere che $f_n>0$.
si avete perfettamente ragione, in definitiva per verificare la convergenza uniforme mi tocca ogni volta provare a vedere le somme parziali? c'è qualcosa di più pratico?
"angus89":
si avete perfettamente ragione, in definitiva per verificare la convergenza uniforme mi tocca ogni volta provare a vedere le somme parziali? c'è qualcosa di più pratico?
La convergenza totale è quasi sempre l'unico modo per andare avanti nello studio delle serie, poiché in generale è impossibile determinare le somme parziali in forma chiusa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo