Convergenza uniforme della serie geometrica
Ciao a tutti,
sono alle prese con le serie di funzioni, in particolare questa:
$\sum_{0}^\infty 4^n \frac{x^{2n}}{(1+x^2)^n}$
L'esercizio mi chiede di determinare l'insieme A di convergenza puntuale, la somma della serie e chiede se converge uniformemente su A.
Io ho pensato di ricondurmi ad una serie geometrica, con ragione $r = \frac{4x^2}{1+x^2}$. Da questo si calcola l'insieme A di convergenza puntuale e la somma (mi escono $x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ e somma $S(x) = \frac{1+x^2}{1-3x^2}$, non so se ho fatto giusto).
Come faccio a controllare se converge uniformemente su A? Leggendo qui e la' mi e' parso di capire che la serie geometrica non converga uniformemente in quell'insieme, ma non capisco perche'.
A parte applicare Weierstrass per capire se una serie converge uniformemente, come faccio a dire se NON converge uniformemente?
Grazie mille in anticipo!
~Aki
sono alle prese con le serie di funzioni, in particolare questa:
$\sum_{0}^\infty 4^n \frac{x^{2n}}{(1+x^2)^n}$
L'esercizio mi chiede di determinare l'insieme A di convergenza puntuale, la somma della serie e chiede se converge uniformemente su A.
Io ho pensato di ricondurmi ad una serie geometrica, con ragione $r = \frac{4x^2}{1+x^2}$. Da questo si calcola l'insieme A di convergenza puntuale e la somma (mi escono $x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ e somma $S(x) = \frac{1+x^2}{1-3x^2}$, non so se ho fatto giusto).
Come faccio a controllare se converge uniformemente su A? Leggendo qui e la' mi e' parso di capire che la serie geometrica non converga uniformemente in quell'insieme, ma non capisco perche'.
A parte applicare Weierstrass per capire se una serie converge uniformemente, come faccio a dire se NON converge uniformemente?
Grazie mille in anticipo!
~Aki
Risposte
Poiché le $f_n$ sono continue e limitate in $A$, se la serie convergesse uniformemente allora la sua somma dovrebbe essere una funzione continua e limitata in $A$.
Ok, grazie mille, devo essermi perso questo fatto... E' che purtroppo, anche se riesco a visualizzare piuttosto bene la convergenza puntuale ed uniforme sulle successioni di funzioni, non riesco a fare altrettanto bene sulle serie di funzioni e quindi la convergenza uniforme rimane ancora un concetto un po' oscuro, per me :S
Grazie, cerchero' di ragionarci su.
Grazie, cerchero' di ragionarci su.
Quando hai una serie di funzioni pensa alla successione $(s_n)$ delle somme parziali; in questo modo (almeno da un punto di vista teorico) ti riconduci alle successioni di funzioni.
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