Convergenza uniforme a infinito

[Rob995]

Ripropongo la stessa domanda di qualche giorno fa sperando in una risposta. Mi chiedevo se fosse possibile che una serie di funzioni possa convergere uniformemente in un intervallo A in cui la funzione a cui la serie tende, vada ad infinito in alcuni punti. Io penso che sia possibile, ma non trovo riscontri, anzi; sembra quasi che io trovi confutazioni. Ma è un punto che non trovo precisato da nessuna parte. Qualcuno sa chiarirmi le idee? Grazie.

[Quinzio]

Non sono la persona piu' ferrata in teoria, ma direi che la tua tesi non è corretta.
La convergenza uniforme prevede che, in ogni punto, esista un certo intorno in cui la differenza tra la serie e la funzione "obbiettivo" possa essere ridotta a piacere. (Ovviamente cio' si realizza aggiungendo dei termini alla serie).
Definizione completa qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Successio ... a_uniforme

Le condizioni della convergenza uniforme non vengono tutte le volte ben comprese da chi studia, come piu' volte ho osservato su questo forum. Mi permetto di dire che forse anche tu dovresti assicurarti di aver ben compreso la definizione.

[Rob995]

Sì Quinzio, io penso di averla abbastanza capita. Infatti nella mia testa c'è per esempio l'iperbole equilatera. Se tu tra la curva $\y=1/x$ ed $\y=(1/x)+ε$ immagini infinite curve $\f_n(x)$ tutte comprese là dentro (e che si avvicinino sempre più a $\1/x$ ) allora noterai che per ogni ε>0 esiste n>N(ε) tale che per ogni $\f_n(x)$ si abbia che la sua distanza punto per punto da $\y=1/x$ sia minore di ε. Non ho dato altro che la definizione di uniforme convergenza. Ma vale per ogni punto, quindi anche per x che tende a 0.

[Sk_Anonymous]

Intanto un chiarimento sulla terminologia: stiamo parlando di serie di funzioni - quindi di qualcosa del tipo \( \sum f_n \) - oppure di successioni di funzioni? Perché nel secondo caso è vero che la successione di funzioni \( f_n (x) = 1/x + 1/n \) converge uniformemente ad \(f(x)= 1/x \) nell'aperto \( (0,1) \). Non credo però tu possa dire lo stesso dell'intervallo \( (-1,1)\), ad esempio, per il semplice fatto che \( f\) (ed invero nemmeno le \(f_n\)), in \(x=0\), non è neppure definita.

[Rob995]

Potrebbe benissimo essere una serie di funzioni, senza cambiare la logica del ragionamento, perché se anche fosse $\sum_{k=2}^n f_k = s_n = 1/x + 1/n$ allora ti basterebbe definire $\f_k(x)= 1/k-1/(k-1)$ ed $\f_0(x)=1+1/x$. Credo non cambierebbe la logica del discorso. Il punto è che io credo che questa $\s_n(x)$ debba convergere uniformemente ad $\y=1/x$ anche nell'intervallo $\(-1,1)$

[Sk_Anonymous]

"Rob995":Potrebbe benissimo essere una serie di funzioni, senza cambiare la logica del ragionamento, perché se anche fosse $\sum_{k=2}^n f_k = s_n = 1/x + 1/n$ allora ti basterebbe definire $\f_k(x)= 1/k-1/(k-1)$ ed $\f_0(x)=1+1/x$. Credo non cambierebbe la logica del discorso. [...]

Ma lo rende inutilmente capzioso.

Al momento mi verrebbe addirittura da ritrattare quello che ho scritto - per dire che c'è convergenza uniforme, per esempio, solo in \( [a,1) \) per ogni \( a > 0\) (e non in \( (0,1)\) come scrissi sopra). Continuo però ad essere convinto che ciò non sia vero per \(a=0\): nonostante mediante la differenza \( f_n(x) - f(x)\) il problema con la singolarità scompaia, né \(f\) né le \(f_n\) sono definite in \(x=0\); pertanto trovo insensata la scrittura \(\lim_{n \to \infty} f_n (0) = f(0)\), con quanto consegue dall'inesistenza del limite puntuale.

In ogni caso, magari, aspettiamo un parere più autorevole del mio.

[Rob995]

Capisco il tuo dubbio, ma se le singole funzioni non sono definite, magari la loro differenza lo è! Come dovrebbe essere in questo caso.. Poi non so..