Convergenza uniforme
Salve a tutti, vorrei qualche chiarimenti sull'argomento in oggetto.
Prendo in esame la successione di funzioni $f_n(x)=2/(nx^2+2)$. Studiando la convergenza puntuale ottengo facilmente che $f_n(x)->f(x)$ se $ n->+oo$ dove $f(x)=\{ (1,x=0),(0,x!=0) :} $. A questo punto voglio studiare la convergenza uniforme. Vorrei spiegazioni riguardo al $ lim_(n\to(+oo)) Sup |f_n(x)-f(x)|=0 $. Penso di aver capito che graficamente parlando significa imporre che la distanza tra la funzione$f(x)$ di convergenza e la generica funzione che dipende da $n$ vada a zero se $n->+oo$, ovvero che ogni termine della successione $f_n$ a prescindere dal valore scelto di $x$ converga a $f$. In pratica per verificare questa condizione come devo muovermi? Calcolare il massimo della funzione differenza ( che sta in modulo ) e vedere come si comporta per $n->oo$ ? Vi ringrazio anticipatamente
Prendo in esame la successione di funzioni $f_n(x)=2/(nx^2+2)$. Studiando la convergenza puntuale ottengo facilmente che $f_n(x)->f(x)$ se $ n->+oo$ dove $f(x)=\{ (1,x=0),(0,x!=0) :} $. A questo punto voglio studiare la convergenza uniforme. Vorrei spiegazioni riguardo al $ lim_(n\to(+oo)) Sup |f_n(x)-f(x)|=0 $. Penso di aver capito che graficamente parlando significa imporre che la distanza tra la funzione$f(x)$ di convergenza e la generica funzione che dipende da $n$ vada a zero se $n->+oo$, ovvero che ogni termine della successione $f_n$ a prescindere dal valore scelto di $x$ converga a $f$. In pratica per verificare questa condizione come devo muovermi? Calcolare il massimo della funzione differenza ( che sta in modulo ) e vedere come si comporta per $n->oo$ ? Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Sì, quello che hai scritto è tutto corretto. Devi però specificare l'insieme in cui vuoi provare l'uniforme convergenza.
Nota: la successione di funzioni da te proposta non può convergere uniformemente su tutto $RR$, infatti $f_n$ è una funzione continua $AA n \in NN$, epperò $f_n -> f$ la quale è una funzione discontinua.
Nota: la successione di funzioni da te proposta non può convergere uniformemente su tutto $RR$, infatti $f_n$ è una funzione continua $AA n \in NN$, epperò $f_n -> f$ la quale è una funzione discontinua.
"Seneca":
Sì, quello che hai scritto è tutto corretto. Devi però specificare l'insieme in cui vuoi provare l'uniforme convergenza.
Nota: la successione di funzioni da te proposta non può convergere uniformemente su tutto $RR$, infatti $f_n$ è una funzione continua $AA n \in NN$, epperò $f_n -> f$ la quale è una funzione discontinua.
Ciao,A.!
Ho paura che sia in una fase iniziale dell'argomento,
e per cadere in assurdo gli manchi dunque(anche se potrebbe averlo già intuito..)il teorema sulla continuità della funzione limite d'una successione di funzioni,tutte continue,uniformemente convergente verso la funzione limite;
magari,per ora,sarebbe meglio se s'accorgesse della mancata convergenza uniforme della sua successione di funzioni notando che $Sup_(x inRR)|f_n(x)-f(x)|=1$ $AAn inNNrArrcdots$:
poi,a breve,ne converrà di considerare il tuo suggerimento tra i primi controlli da realizzare per togliere,se possibile,
le castagne dal fuoco con poca fatica.
Saluti dal web.
"theras":
Ho paura che sia in una fase iniziale dell'argomento,
Ne ho paura anche io
Dando uno sguardo al teorema: la mia $f_n$ è una successione di funzioni continue, ma la funzione cui converge ( che chiamo $f$ ) non lo è. Dal momento che se $f_n$ convergesse uniformemente verso $f$, questa $f$, per il teorema citato, dovrebbe essere continua, ma così non è, quindi deduco che $f_n$ non converge uniformemente. Giusto?
In ogni caso sarei interessato alla risoluzione mediante $Sup$, qualcuno di voi potrebbe darmi una mano?
ps: ovviamente grazie ad entrambi.
"Slashino":
......
Ne ho paura anche io
Dando uno sguardo al teorema: la mia $f_n$ è una successione di funzioni continue, ma la funzione cui converge ( che chiamo $f$ ) non lo è. Dal momento che se $f_n$ convergesse uniformemente verso $f$, questa $f$, per il teorema citato, dovrebbe essere continua, ma così non è, quindi deduco che $f_n$ non converge uniformemente. Giusto?
E brava/o:
hai capito bene,anche se ti mancava qualcosa..
"Slashino":
In ogni caso sarei interessato alla risoluzione mediante $Sup$, qualcuno di voi potrebbe darmi una mano?
ps: ovviamente grazie ad entrambi.
Rileggi con un pò d'attenzione quanto avevo scritto nel pezzo del mio post che non hai citato:
ho buone speranze che saprai farlo,e troverai ciò cui sei interessata/o..
Saluti dal web.
avevo modificato il post precedente ma visto che mi hai preceduto nella risposta faccio copia/incolla qui: vi chiedo aiuto perchè
non so come muovermi dovendo necessariamente dividere i due casi di x.Ci provo:
per $x=0$ $f=1$. Quindi $Sup|f_n-f|$ è banalmente$Sup|0|=0$. In questo caso non c'è nemmeno bisogno che scomodo il limite, giusto?
per$x!=0$ $f=0$ quindi $Sup|f_n-f|=Sup|f_n|$ quindi devo trovare il massimo di $f_n(x)=2/(nx^2+2)$ in funzione del parametro n?
non so come muovermi dovendo necessariamente dividere i due casi di x.Ci provo:
per $x=0$ $f=1$. Quindi $Sup|f_n-f|$ è banalmente$Sup|0|=0$. In questo caso non c'è nemmeno bisogno che scomodo il limite, giusto?
per$x!=0$ $f=0$ quindi $Sup|f_n-f|=Sup|f_n|$ quindi devo trovare il massimo di $f_n(x)=2/(nx^2+2)$ in funzione del parametro n?
Un modo per dimostrare che la convergenza non è uniforme in un intorno di $0$ è il seguente:
$lim_(x -> 0^+) |f_n(x) - f(x)| = 1$
Per la definizione di limite:
$AA epsilon > 0, EE delta > 0 : AA x in ( 0 , delta )$ si ha che $||f_n(x) - 0 | - 1| < epsilon$ , $AA n in NN$
Vale a dire che $AA n in NN$, $1 - epsilon < |f_n(x)|$. Fissando $epsilon = 1/2$, hai che:
$1/2 = 1 - epsilon < |f_n(x)| < "sup"_(x in (0,delta) ) |f_n(x)|$ , $AA n in NN$.
Dunque quel superiore non può tendere a $0$ al divergere di $n$.
$lim_(x -> 0^+) |f_n(x) - f(x)| = 1$
Per la definizione di limite:
$AA epsilon > 0, EE delta > 0 : AA x in ( 0 , delta )$ si ha che $||f_n(x) - 0 | - 1| < epsilon$ , $AA n in NN$
Vale a dire che $AA n in NN$, $1 - epsilon < |f_n(x)|$. Fissando $epsilon = 1/2$, hai che:
$1/2 = 1 - epsilon < |f_n(x)| < "sup"_(x in (0,delta) ) |f_n(x)|$ , $AA n in NN$.
Dunque quel superiore non può tendere a $0$ al divergere di $n$.
OK, mi è chiaro il tuo ragionamento ma volendo ricorrere ad una ragionamento ( forse ) più pratico come quello che avevo cominciato, come posso muovermi? In fin dei conti è proprio il mio che mi lascia perplesso 
Il punto è che $|f_n(x)-f(x)|= { (1-1=0 text { se x=0 }),(2/(nx^2+2)-0=2/(nx^2+2)text{ se x}ne0 ):} AAn inNN,AAx inRRrArr$
$rArrSup_(x inRR)|f_n(x)-f(x)|=1$ $AAn inNN$
(ad occhio e croce,fissato in un primo momento $overline(n)$ a piacere per poi sfruttarne l'arbitrarietà,
puoi verificarlo per $x inRR$ grazie alle prop caratteristiche degli estremi superiori)$rArrcdots$:
saluti dal web.
$rArrSup_(x inRR)|f_n(x)-f(x)|=1$ $AAn inNN$
(ad occhio e croce,fissato in un primo momento $overline(n)$ a piacere per poi sfruttarne l'arbitrarietà,
puoi verificarlo per $x inRR$ grazie alle prop caratteristiche degli estremi superiori)$rArrcdots$:
saluti dal web.
Un momento, vorrei fare un passo indietro. Devo stimare la più grande distanza $f_n(x)-f(x)$ e far vedere che si annulla col divergere di $n$, e su questo ci siamo. Per fare ciò non posso semplicemente trovare la funzione $g(x)=|f_n(x)-f(x)|$ ( avendo fissato $n$), derivare, calcolare l'ascissa del massimo, trovare il massimo e poi vedere come si comporta per $n->+oo$? Non sto parlando di convenienza o rapidità di svolgimento, ma solo di correttezza di ciò che dico. Perchè ad operare così ho qualche problema...
"Slashino":
Un momento, vorrei fare un passo indietro. Devo stimare la più grande distanza $f_n(x)-f(x)$ e far vedere che si annulla col divergere di $n$, e su questo ci siamo. Per fare ciò non posso semplicemente trovare la funzione $g(x)=|f_n(x)-f(x)|$ ( avendo fissato $n$), derivare, calcolare l'ascissa del massimo, trovare il massimo e poi vedere come si comporta per $n->+oo$? Non sto parlando di convenienza o rapidità di svolgimento, ma solo di correttezza di ciò che dico. Perchè ad operare così ho qualche problema...
Prova a farlo:
ma stà attento/a innanzitutto a non confondere i concetti di massimo relativo ed estremo superiore,
e non compiere altri errori concettuali dietro l'angolo con quel tuo procedimento che,nella migliore delle evenienze,
non mi sembra possa portarti a nulla di utile..
Oppure osserva che,in riferimento a quell'$overline(n)$ di cui sopra,è abbastanza semplice notare come:
1)$g_(overline(n))(x)<=1$ $AAx inRR$
2)$EElim_(x->0)g_(overline(n))(x)=lim_(x->0)2/(overline(n)x^2+2)=1rArrcdots$
(non mi và di scrivere la def di limite,che l'acqua della pasta bolle
)$rArrAAepsilon inRR^+$ $EEx_(epsilon)inRR$ t.c. $g_(overline(n))(x_(epsilon))>1-epsilon$.Se a questo punto avrai difficoltà chiedi ad altri,però:
non per cattiva volontà nei tuoi confronti,ma perchè con la pancia piena di pasta scriverei solo orrori
!!Saluti dal web.
Ho riletto bene tutta la conversazione e mi sono chiarito davvero molti dubbi. Adesso non vedo più la necessità di fare quei passaggi di cui parlavo prima per il semplice fatto che ci posso arrivare per vie migliori. Vi ringrazio entrambi
ps: @ thereas : ti auguro un'ottima digestione
ps: @ thereas : ti auguro un'ottima digestione
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