Convergenza uniforme

[thedarkhero]

Sia $f_n(x)=x^2e^(-n^2x^2)$ una successione di funzioni.
$\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0$ quindi la funzione converge puntualmente alla funzione nulla su tutto $RR$.
Ora voglio sapere se converge anche uniformemente.
$||x^2e^(-n^2x^2)-0||=||x^2e^(-n^2x^2)||$ ma poi come continuo?

[Zilpha]

Qual'è la condizione per la convergenza uniforme? scriverla ti aiuterebbe

[thedarkhero]

$\lim_{n \to \infty}||f_n(x)-f(x)||=0$

[Zilpha]

in realtà in questi casi è più conveniente fare riferimento alla condizione relativa al sup.
Cioè tu sai che $ f_n $ converge uniformemente se e solo se $ lim_(n -> +oo ) $ sup $ {|f_n(x)-f(x)|: x in I }=0 $

[thedarkhero]

"Zilpha":in realtà in questi casi è più conveniente fare riferimento alla condizione relativa al sup.
Cioè tu sai che $ f_n $ converge uniformemente se e solo se $ lim_(n -> +oo ) $ sup $ {|f_n(x)-f(x)|: x in I }=0 $

Quindi $ lim_(n -> +oo ) $ sup $ {|x^2e^-(n^2x^2)|: x in RR }=lim_(n -> +oo ) $ sup $ {x^2e^-(n^2x^2): x in RR } $ ma come lo posso maggiorare?

[salvozungri]

Fissa [tex]n\in\mathbb{N}_{>0}[/tex], considera la funzione [tex]f_n(x)= x^2 e^{- n^2 x^2}[/tex] e determina il massimo con i soliti mezzi

[Zilpha]

Allora, alcune volte si può seguire la strada di calcolare direttamente il sup, soprattutto quando questo è in realtà un massimo (per esempio quando l'intervallo I è chiuso e limitato, e la funzione continua, ovviamente), quindi calcolare la derivata prima della funzione che compare nel valore assoluto, vedere dove si annulla, verificare se ci sono punti di massimo e vedere se questo eventuale max, per n che tende a +infinito, tende a zero.
Ora nel tuo caso che considerazione puoi fare circa la funzione che ti ritrovi? ragionando sul sup intendo