Convergenza uniforme!
$ lim_(n -> oo)SUP|fn(x)-fx|=0 $ chi puo spiegarmi perche per la convergenza uniforme delle successioni di funzioni bisogna verificare questo limite!
ho capito la differenza tra uniforme e puntuale..ma non questo!
ho capito la differenza tra uniforme e puntuale..ma non questo!
Risposte
Se hai capito la differenza tra convergenza puntuale e uniforme, dovresti aver chiaro il significato di quel limite.
Per esempio sai dire che significato ha, geometricamente: [tex]$|f_{n} (x) - f (x)|$[/tex] ?
Per esempio sai dire che significato ha, geometricamente: [tex]$|f_{n} (x) - f (x)|$[/tex] ?
no!so che per la convergenza uniforme deve essere minore di epsilon!
Ahh. allora come fai a dire che hai capito!! 
ti consiglio di vederti le definizioni di convergenza puntuale ed uniforme e cercare di darne un significato geometrico, se no avrai grosse difficoltà ad affrontare questo argomento e finirai per studiare a memoria!.
Suggerimento:
"[tex]$|f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon \text{ con }\epsilon \text{ piccolo a piacere }$[/tex]" significa che la distanza tra [tex]$f_{n}(x)$[/tex] (un termine della successione - che è una funzione! - ) e [tex]$f(x)$[/tex] deve essere piccolissima.
ti consiglio di vederti le definizioni di convergenza puntuale ed uniforme e cercare di darne un significato geometrico, se no avrai grosse difficoltà ad affrontare questo argomento e finirai per studiare a memoria!.
Suggerimento:
"[tex]$|f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon \text{ con }\epsilon \text{ piccolo a piacere }$[/tex]" significa che la distanza tra [tex]$f_{n}(x)$[/tex] (un termine della successione - che è una funzione! - ) e [tex]$f(x)$[/tex] deve essere piccolissima.
e non so dove vedere..potresti aiutarmi?
quindi il sup sta a indicare che anche la distanza piu grande è piu piccola di epsilon?perche vale per ogni x appartenenti all intervallo scelto..la convergenza uniforme!giusto?
Giusto... 
Esatto!
Conv uniforme:
Da un certo [tex]$n$[/tex] in poi (cioè da una certa funzione della successione in poi), per qualunque [tex]$x$[/tex] dell'intervallo considerato la distanza tra le funzioni della successione [tex]$f_{n}(x)$[/tex] e una funzione [tex]$f(x)$[/tex] è minima.
Adesso sai esprimere la differenza tra convergenza uniforme e convergenza puntuale (sempre geometricamente, intendo)?
Conv uniforme:
Da un certo [tex]$n$[/tex] in poi (cioè da una certa funzione della successione in poi), per qualunque [tex]$x$[/tex] dell'intervallo considerato la distanza tra le funzioni della successione [tex]$f_{n}(x)$[/tex] e una funzione [tex]$f(x)$[/tex] è minima.
Adesso sai esprimere la differenza tra convergenza uniforme e convergenza puntuale (sempre geometricamente, intendo)?
per la convergenza puntuale non vi è un unico indice No per cui la differenza è sempre minore di epsilon per ogni punto!l indice dipende oltre che da epislon anche dal punto scelto!quindi per ogni punto per avere la differenza di funzioni minore di epsilon dobbiamo aggiornare l indice che sarebbe n!
mmm. potresti dirlo meglio.
Ti faccio notare che una successione di funzioni è per l'appunto una successione di tante funzioni (scusate la ripetizione)
[tex]$n$[/tex] si riferisce alla particolare funzione della successione.
Cioè per esempio:
per [tex]$n = 1$[/tex] stai considerando la prima funzione della successione [tex]$f_{1} (x)$[/tex]
per [tex]$n=2$[/tex] stai considerano la seconda funzione [tex]$f_{2}(x)$[/tex]
per [tex]$n=3$[/tex]: la terza funzione [tex]$f_{3}(x)$[/tex]
e via dicendo.
Ad esempio ti do : [tex]$f_{n}(x) = nx$[/tex] con [tex]$n \in N$[/tex]
Questa è una successione di funzioni.
per [tex]$n=1[/tex] : [tex]$f_{1}(x)= x[/tex]
per [tex]$n=2[/tex] : [tex]$f_{2}(x)= 2x[/tex]
per [tex]$n=3[/tex] : [tex]$ f_{3} (x) = 3x[/tex]
per [tex]$n=4[/tex] : [tex]$f_{4}(x) = 4x[/tex]
ecc.
Cioè volendo rappresentare queste prime quattro funzioni della successione, otteniamo:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("x");
stroke="red";
plot("2x");
stroke="red";
plot("3x");
stroke="red";
plot("4x");[/asvg]
Ti faccio notare che una successione di funzioni è per l'appunto una successione di tante funzioni (scusate la ripetizione)
[tex]$n$[/tex] si riferisce alla particolare funzione della successione.
Cioè per esempio:
per [tex]$n = 1$[/tex] stai considerando la prima funzione della successione [tex]$f_{1} (x)$[/tex]
per [tex]$n=2$[/tex] stai considerano la seconda funzione [tex]$f_{2}(x)$[/tex]
per [tex]$n=3$[/tex]: la terza funzione [tex]$f_{3}(x)$[/tex]
e via dicendo.
Ad esempio ti do : [tex]$f_{n}(x) = nx$[/tex] con [tex]$n \in N$[/tex]
Questa è una successione di funzioni.
per [tex]$n=1[/tex] : [tex]$f_{1}(x)= x[/tex]
per [tex]$n=2[/tex] : [tex]$f_{2}(x)= 2x[/tex]
per [tex]$n=3[/tex] : [tex]$ f_{3} (x) = 3x[/tex]
per [tex]$n=4[/tex] : [tex]$f_{4}(x) = 4x[/tex]
ecc.
Cioè volendo rappresentare queste prime quattro funzioni della successione, otteniamo:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("x");
stroke="red";
plot("2x");
stroke="red";
plot("3x");
stroke="red";
plot("4x");[/asvg]
Qui avevo scritto una breve interpretazione grafica, forse ti può servire:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387861
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387861
come potrei dire?
grazie mille!quindi la mia definizione di convergenza puntuale va bene??ho capito il concetto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo