Convergenza uniforme

[leev]

Mi aiutereste con questo exe:

"
Si considerino le funzioni limitate fn, gn, f e g: D -> C
(con limitate intendo x es ke |f(x)| fn converge uniformemente verso f , e gn verso g.

Mostrare che: "Se tutte le fn sono uniformemente continue, allora f è anche uniformemente continua"
"

thanks!

L.L

[david_e1]

Questa "dimostrazione" la ho buttata giu' in qualche minuto per cui potrebbe essere sbagliata.
Se qualcuno trova un errore lo dica senza farsi problemi.

Comunque:
Se le fn sono uniformemente continue:
Per ogni n esiste M(n) : | fn(x1) - fn(x2) | < M(n) per ogni coppia x1,x2 tali che |x1-x2| Siccome M(n) deve essere finito e positivo per ogni n esiste finito M = Sup M(n)
Ora | fn(x1) - fn(x2) | < M per ogni coppia x1 e x2 tali che |x1-x2| Siccome fn converge uniformemente allora | fn(x) - f(x) | < k. (per ogni x)
Ora procediamo come segue:
| f(x1) - f(x2) | =
| f(x1) - fn(x1) + fn(x1) - f(x2) | <=
| f(x1) - fn(x1) | + | fn(x1) - f(x2) | <
k + | fn(x1) - f(x2) | <
| fn(x1) - fn(x2) + fn(x2) - f(x2) | <
| fn(x1) - fn(x2) | + k <
| fn(x1) - fn(x2) | < M per ogni x1,x2 tali che |x1-x2| C.V.D.

[leev]

Ciao david_e
grazie della risposta.

La tua prova mi sembra abbastanza convincente, però l'ultimo passaggio
| fn(x1) - fn(x2) | + k <
| fn(x1) - fn(x2) | < M
..non mi convince molto, visto ke k è positivo
o mi è sfuggito qc?!

L.L

[david_e1]

Si hai ragione ho pasticciato un po' con le costanti, ma lo sapevo che avrei sbagliato qualcosa!

Le ultime due righe erano sbagliate infatti ci sono 2 k che sono spariti. Ecco la versione con la correzione. (l'ho riguardata e non vedo altri errori, ma conoscendomi potrebbe esserci qualche altra c....)

| f(x1) - f(x2) | =
| f(x1) - fn(x1) + fn(x1) - f(x2) | <=
| f(x1) - fn(x1) | + | fn(x1) - f(x2) | <
k + | fn(x1) - f(x2) | =
| fn(x1) - fn(x2) + fn(x2) - f(x2) | + k <
| fn(x1) - fn(x2) | + 2k <
| fn(x1) - fn(x2) | + 2k < M + 2k = Q

Leggendo dalla prima all'ultima riga abbiamo: | f(x1) - f(x2) | < Q (se x1 e' "vicino" a x2) che era cio' che si cercava.

[leev]

ok!
grazie mille!!
ciaoooo

L.L