Convergenza uniforme
Chi mi aiuta nello studio della convergenza uniforme per lo studio della seguente serie di funzioni?
Σ n da 1 a + ∞ di 1/n*((x-1)/(x))^n
quando x >= 1.
GRAZIE
Σ n da 1 a + ∞ di 1/n*((x-1)/(x))^n
quando x >= 1.
GRAZIE
Risposte
Ti può far comodo :
Ma (x-1)/x sta a numeratore?
Se e' cosi' allora :
poniamo y=(x-1)/x (sempre definita per x>=1)
La serie diventa una serie di potenze:
(y^n)/n.
Per avere l'intervallo di convergenza dobbiamo
calcolare :
lim(|A(n+1)/A(n)| = |y| =|(x-1)/x|=|1-1/x|
n-->+inf
Tale limite per x>=1 e' sempre <1 e poiche' y e' sempre definita e continua per x>=1,ne segue che la serie in questione e' TOTALMENTE
e quindi UNIFORMEMENTE convergente in ]1,+inf[.
Per x=1 la serie ha tutti i termini nulli e quindi converge.
Sono andato un po' a ricordo,altri piu' aggiornati potranno
confermare o correggere quanto ho detto.
karl.
Se e' cosi' allora :
poniamo y=(x-1)/x (sempre definita per x>=1)
La serie diventa una serie di potenze:
(y^n)/n.Per avere l'intervallo di convergenza dobbiamo
calcolare :
lim(|A(n+1)/A(n)| = |y| =|(x-1)/x|=|1-1/x|
n-->+inf
Tale limite per x>=1 e' sempre <1 e poiche' y e' sempre definita e continua per x>=1,ne segue che la serie in questione e' TOTALMENTE
e quindi UNIFORMEMENTE convergente in ]1,+inf[.
Per x=1 la serie ha tutti i termini nulli e quindi converge.
Sono andato un po' a ricordo,altri piu' aggiornati potranno
confermare o correggere quanto ho detto.
karl.
Sinceramente non ho capito la domanda. Cioè (x-1) sta al numeratore, x sta al denominatore e tutto quanto è elevato alla n. Infine 1/n moltiplica tutto questo termine!
Spero di essermi spiegato e comunque la serie non converge totalmente altrimenti si poteva derivare la convergenza uniforme da quella totale!
Spero di essermi spiegato e comunque la serie non converge totalmente altrimenti si poteva derivare la convergenza uniforme da quella totale!
Io l'ho interpretata :
1/(n*((x-1)/(x))^n)
se no mi sarei aspettato :
((x-1)/(x))^n/n oppure (1/n)*((x-1)/(x))^n
Comunque propongo di usare le parentesi sempre.
1/(n*((x-1)/(x))^n)
se no mi sarei aspettato :
((x-1)/(x))^n/n oppure (1/n)*((x-1)/(x))^n
Comunque propongo di usare le parentesi sempre.
Per Pavonis.
Dalla tua risposta deduco di aver interpretato
bene:infatti temevo che la frazione (x-1)/x stesse, per
cosi' dire,sotto il segno / che compare nell'esercizio.
Quanto al resto ho applicato regole note di Analisi 2,
seguendo la risoluzione di esercizi analoghi(vedi
Marcellini-Sbordone).
karl.
Dalla tua risposta deduco di aver interpretato
bene:infatti temevo che la frazione (x-1)/x stesse, per
cosi' dire,sotto il segno / che compare nell'esercizio.
Quanto al resto ho applicato regole note di Analisi 2,
seguendo la risoluzione di esercizi analoghi(vedi
Marcellini-Sbordone).
karl.
Allora il grafico é :
Che programma hai usato, Arrigo, per quel bel grafico?
Mi sto facendo in php tutta una serie di programmini che ritengo utili :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNum ... icolnx.htm
Nel nostro caso ho usato :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNum ... veinR2.htm
Invece di usare programmi già fatti, anche se migliori, preferisco usare i miei perchè facendoli mi diverto un sacco e poi perchè, così, la matematica prende ... vita.
Ciao.
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNum ... icolnx.htm
Nel nostro caso ho usato :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNum ... veinR2.htm
Invece di usare programmi già fatti, anche se migliori, preferisco usare i miei perchè facendoli mi diverto un sacco e poi perchè, così, la matematica prende ... vita.
Ciao.
Beh si scusate ma non ho usato le parentesi, la serie è questa:
Σ n da 1 a + ∞ di (1/n)*((x-1)/(x))^n
Σ n da 1 a + ∞ di (1/n)*((x-1)/(x))^n
Non so... io ho sempre fatto cosi:
1) Verifico convergenza puntiforme, fissando x e facendo il limite per n --> +inf e trovando la candidata f.
In questo caso f(n) converge puntualmente a zero ovunque per x>=1
Quindi f = 0 ovunque.
2) Fisso il parametro n trovo il sup di | f(n) - f | in dipendenza da x.
In questo caso il sup è 1/n.
3) A questo punto verifico se il sup converga o meno alla candidata. Faccio quindi il limite per n --> +inf.
In questo caso il limite viene 0 quindi la serie converge uniformemente in [1,+inf]
1) Verifico convergenza puntiforme, fissando x e facendo il limite per n --> +inf e trovando la candidata f.
In questo caso f(n) converge puntualmente a zero ovunque per x>=1
Quindi f = 0 ovunque.
2) Fisso il parametro n trovo il sup di | f(n) - f | in dipendenza da x.
In questo caso il sup è 1/n.
3) A questo punto verifico se il sup converga o meno alla candidata. Faccio quindi il limite per n --> +inf.
In questo caso il limite viene 0 quindi la serie converge uniformemente in [1,+inf]
Io quel procedimento lo uso per lo studio della convergenza uniforme di una successione di funzioni e non per le serie di funzioni.
Per studiare la convergenza unifrme di una serie determino:
lim per n a +inf del sup (al variare di x nell'intervallo di definizione) di |S(x)-Sn(x)|
S(x) = somma della serie
Sn(x) = termine ennesimo della serie
R(x) = S(x)-Sn(x) = resto
questo Rn(x) si riesce a stimare in serie geometriche e in serie a segni alterni, ma non ce la faccio in questa serie!
Per studiare la convergenza unifrme di una serie determino:
lim per n a +inf del sup (al variare di x nell'intervallo di definizione) di |S(x)-Sn(x)|
S(x) = somma della serie
Sn(x) = termine ennesimo della serie
R(x) = S(x)-Sn(x) = resto
questo Rn(x) si riesce a stimare in serie geometriche e in serie a segni alterni, ma non ce la faccio in questa serie!
Ops piccolo particolare sfuggitomi 
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