Convergenza uniforme?
La posto su analisi di base perché ho un dubbio che è legato in realtà ad analisi di base. Anche se in realtà il problema è di analisi complessa. Abbiamo \( f_n : U \to \mathbb{C} \) una successione di funzioni olomorfe che convergono localmente uniformemente a \(f: U \to \mathbb{C}\). Inoltre sia \( \gamma_n : [0,1] \to U \) una successione di cammini \(C^1\) tale che \( \gamma_n \to \gamma \) e \( \gamma_n ' \to \gamma ' \) uniformemente su \( [0,1] \).
Dimostra che
\[ \lim_{n \to \infty} \int_{\gamma_n} f_n(z) dz = \int_{\gamma} f(z) \]
A me sembra molto semplice. Ovvero mi basta dire che \( f_n(\gamma_n(t)) \gamma_n'(t) \to f(\gamma(t)) \gamma'(t) \) uniformemente su \([0,1] \) e poi ho il bound siccome
\[ \left| \displaystyle{\int_{0}^{1}} f_n(\gamma_n(t))\gamma_n'(t) - f(\gamma(t))\gamma'(t) dt \right| \leq \sup_{t \in [0,1] } \left| f_n(\gamma_n(t))\gamma_n'(t) - f(\gamma(t))\gamma'(t) \right| \leq \epsilon \]
Quindi mi chiedevo è vero che con queste ipotesi posso dire che \( f_n(\gamma_n(t)) \gamma_n'(t) \to f(\gamma(t)) \gamma'(t) \) uniformemente su \([0,1] \) ??
Il dubbio mi è sorto perché le soluzioni dell'esercizio fanno una cosa diversa.
Dimostra che
\[ \lim_{n \to \infty} \int_{\gamma_n} f_n(z) dz = \int_{\gamma} f(z) \]
A me sembra molto semplice. Ovvero mi basta dire che \( f_n(\gamma_n(t)) \gamma_n'(t) \to f(\gamma(t)) \gamma'(t) \) uniformemente su \([0,1] \) e poi ho il bound siccome
\[ \left| \displaystyle{\int_{0}^{1}} f_n(\gamma_n(t))\gamma_n'(t) - f(\gamma(t))\gamma'(t) dt \right| \leq \sup_{t \in [0,1] } \left| f_n(\gamma_n(t))\gamma_n'(t) - f(\gamma(t))\gamma'(t) \right| \leq \epsilon \]
Quindi mi chiedevo è vero che con queste ipotesi posso dire che \( f_n(\gamma_n(t)) \gamma_n'(t) \to f(\gamma(t)) \gamma'(t) \) uniformemente su \([0,1] \) ??
Il dubbio mi è sorto perché le soluzioni dell'esercizio fanno una cosa diversa.
Risposte
Io direi che è vero perché basta mostrare \( f_n(\gamma_n(t)) \to f(\gamma(t)) \) e abbiamo per un \(t \in [0,1] \) arbitrario
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma(t)) \right| \leq \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| + \left| f(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \]
ora in RHS, la differenza di destra la controlliamo per continuità di \(f\), mentre la differenza di sinistra la controlliamo grazie alla convergenza locale uniforme. Dovremmo forse aggiungere che \( \gamma_n(t) \) rimane in un compatto di \(U\). Però siccome \( \gamma_n(t) \to \gamma(t) \) abbiamo che \( \gamma_n(t) \in \overline{B_r(\gamma(t))} \subset U \) per qualche \(r > 0 \). Quindi con \(n \) sufficientemente grande abbiamo che
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \leq \sup_{z \in \overline{B_r(\gamma(t))}}\left| f_n(z) - f(z) \right| \leq \epsilon/2 \]
per convergenza uniforme di \(f_n \)
Pertanto abbiamo che per ogni \(t \) risulta che
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma(t)) \right| \leq \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| + \left| f(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \leq \epsilon \]
in particolare per il \( \sup \), siccome \(t\) è arbitrario.
\[ \sup_{t \in [0,1]} \left| ( f_n \circ \gamma_n) (t) - (f\circ \gamma)(t) \right| \leq \epsilon \]
E siccome \( \gamma_n' \to \gamma' \) uniformemente allora anche \( (f_n \circ \gamma_n) \gamma_n' \to (f \circ \gamma) \gamma' \) uniformemente.
Però le soluzioni a questo punto concludono invece solo che \( f_n(\gamma_n(t)) \to f(\gamma(t)) \) puntualmente. E poi utilizzando la convergenza dominata di Lebesgue.
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma(t)) \right| \leq \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| + \left| f(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \]
ora in RHS, la differenza di destra la controlliamo per continuità di \(f\), mentre la differenza di sinistra la controlliamo grazie alla convergenza locale uniforme. Dovremmo forse aggiungere che \( \gamma_n(t) \) rimane in un compatto di \(U\). Però siccome \( \gamma_n(t) \to \gamma(t) \) abbiamo che \( \gamma_n(t) \in \overline{B_r(\gamma(t))} \subset U \) per qualche \(r > 0 \). Quindi con \(n \) sufficientemente grande abbiamo che
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \leq \sup_{z \in \overline{B_r(\gamma(t))}}\left| f_n(z) - f(z) \right| \leq \epsilon/2 \]
per convergenza uniforme di \(f_n \)
Pertanto abbiamo che per ogni \(t \) risulta che
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma(t)) \right| \leq \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| + \left| f(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \leq \epsilon \]
in particolare per il \( \sup \), siccome \(t\) è arbitrario.
\[ \sup_{t \in [0,1]} \left| ( f_n \circ \gamma_n) (t) - (f\circ \gamma)(t) \right| \leq \epsilon \]
E siccome \( \gamma_n' \to \gamma' \) uniformemente allora anche \( (f_n \circ \gamma_n) \gamma_n' \to (f \circ \gamma) \gamma' \) uniformemente.
Però le soluzioni a questo punto concludono invece solo che \( f_n(\gamma_n(t)) \to f(\gamma(t)) \) puntualmente. E poi utilizzando la convergenza dominata di Lebesgue.
"3m0o":
Io direi che è vero perché basta mostrare \( f_n(\gamma_n(t)) \to f(\gamma(t)) \) e abbiamo per un \(t \in [0,1] \) arbitrario
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma(t)) \right| \leq \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| + \left| f(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \]
ora in RHS, la differenza di destra la controlliamo per continuità di \(f\), mentre la differenza di sinistra la controlliamo grazie alla convergenza locale uniforme. Dovremmo forse aggiungere che \( \gamma_n(t) \) rimane in un compatto di \(U\). Però siccome \( \gamma_n(t) \to \gamma(t) \) abbiamo che \( \gamma_n(t) \in \overline{B_r(\gamma(t))} \subset U \) per qualche \(r > 0 \). Quindi con \(n \) sufficientemente grande abbiamo che
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \leq \sup_{z \in \overline{B_r(\gamma(t))}}\left| f_n(z) - f(z) \right| \leq \epsilon/2 \]
per convergenza uniforme di \(f_n \)
Pertanto abbiamo che per ogni \(t \) risulta che
\[ \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma(t)) \right| \leq \left| f_n(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| + \left| f(\gamma_n(t)) - f(\gamma_n(t)) \right| \leq \epsilon \]
in particolare per il \( \sup \), siccome \(t\) è arbitrario.
\[ \sup_{t \in [0,1]} \left| ( f_n \circ \gamma_n) (t) - (f\circ \gamma)(t) \right| \leq \epsilon \]
E siccome \( \gamma_n' \to \gamma' \) uniformemente allora anche \( (f_n \circ \gamma_n) \gamma_n' \to (f \circ \gamma) \gamma' \) uniformemente.
Però le soluzioni a questo punto concludono invece solo che \( f_n(\gamma_n(t)) \to f(\gamma(t)) \) puntualmente. E poi utilizzando la convergenza dominata di Lebesgue.
Il problema di tutto questo argomento è che il tuo \( \epsilon \) dipende da \(t\).
Ahh.. per via che dell \( \epsilon/2 \) che arriva dalla continuità e per via che il \( \sup \) lo prendo su \( \overline{B_{r}(\gamma(t))} \)?
Quindi devo proprio procedere con la dominata di Lebesgue... mi sembrava che ci fosse una fallacia nel mio argomento. Non mi sarei spiegato altrimenti perché "complicare" la soluzione. Grazie
Quindi devo proprio procedere con la dominata di Lebesgue... mi sembrava che ci fosse una fallacia nel mio argomento. Non mi sarei spiegato altrimenti perché "complicare" la soluzione. Grazie
Sì. Di nulla 
Se avessimo avuto convergenza uniforme e non convergenza convergenza uniforme locale il ragionamento avrebbe funzionato però? Almeno, su math stack exchange ho visto (va bene era un caso reale con funzioni continue e non complesso con funzioni olomorfe) un ragionamento del tutto simile.
"3m0o":
Se avessimo avuto convergenza uniforme e non convergenza convergenza uniforme locale il ragionamento avrebbe funzionato però? Almeno, su math stack exchange ho visto (va bene era un caso reale con funzioni continue e non complesso con funzioni olomorfe) un ragionamento del tutto simile.
Ti serve anche qualche ipotesi su \( f \) probabilmente, tipo che sia globalmente Lipschitz. Ma la cosa non sorprende, quello che stai cercando di dimostrare tu è molto più forte dell'esercizio in OP.
Se quello che sto cercando di dimostrare è vero o falso non saprei onestamente. Ma non mi viene in mente nessun contro esempio di una successione \( \{ f_n \} \) di funzioni olomorfe che converge localmente uniformemente e di cammini \( C^1 \) \( \{ \gamma_n \} \) tale che \( \{ \gamma_n \} \) e \( \{ \gamma_n ' \} \) convergono uniformemente su \( [0,1] \). Tale che \( \{ f_n \circ \gamma_n \} \) non converge localmente uniformemente a \( f \circ \gamma \) su \( [0,1] \).
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