Convergenza uniforme
Salve, stavo svolgendo questo esercizio ma non mi trovo con la soluzione:
$f_n(x)=e^(-1/(n^2x^2))/(nx)$
Si ha che per ogni $x!=0$ il limite puntuale è $0$.
Per la convergenza uniforme studio il sup, la derivata di $f_n(x)$ è $(e^(-1/(n^2 x^2)) (2 - n^2 x^2))/(n^3 x^4)$ perciò trovo un massimo in $sqrt2/n$. Ora il libro dice che la convergenza è uniforme in qualsiasi interallo che non contenga un intorno di zero, ma se vado a sostituire il punto di massimo ottengo $f_n(sqrt2/n)=e^(-1/2)/sqrt2!=0$, come arrivo al risultato del libro? Devo pensare che il massimo trovato, preso n che va all'infinito mi dà $x=0$ e quindi non può essere il massimo, data la condizione $x!=0$? Il problema è che comunque andando a sostituire, il valore del sup in $f_n(sqrt2/n)$ non va a 0
$f_n(x)=e^(-1/(n^2x^2))/(nx)$
Si ha che per ogni $x!=0$ il limite puntuale è $0$.
Per la convergenza uniforme studio il sup, la derivata di $f_n(x)$ è $(e^(-1/(n^2 x^2)) (2 - n^2 x^2))/(n^3 x^4)$ perciò trovo un massimo in $sqrt2/n$. Ora il libro dice che la convergenza è uniforme in qualsiasi interallo che non contenga un intorno di zero, ma se vado a sostituire il punto di massimo ottengo $f_n(sqrt2/n)=e^(-1/2)/sqrt2!=0$, come arrivo al risultato del libro? Devo pensare che il massimo trovato, preso n che va all'infinito mi dà $x=0$ e quindi non può essere il massimo, data la condizione $x!=0$? Il problema è che comunque andando a sostituire, il valore del sup in $f_n(sqrt2/n)$ non va a 0
Risposte
Esatto, proprio per questo devi escludere un intorno di \(0\).
Sia \((-\infty, -a]\cup [a, \infty)\) l'insieme su cui vuoi studiare la convergenza uniforme. Per \(n\) sufficientemente grande, \(\sqrt{2}/n\) casca fuori da questo insieme. Quindi, qual è il massimo?
Sia \((-\infty, -a]\cup [a, \infty)\) l'insieme su cui vuoi studiare la convergenza uniforme. Per \(n\) sufficientemente grande, \(\sqrt{2}/n\) casca fuori da questo insieme. Quindi, qual è il massimo?
Essendo $sqrt2/n$ massimo dopo questo valore $f_n$ è decrescente per cui restringendo a \( (-\infty, -a]\cup [a, \infty) \) il massimo dovrebbe essere $a$ per cui ho $e^(-1/(n^2a^2))/(na)=0$ per $n->infty$, quindi c'è convergenza uniforme
Corretto?
Corretto?
Si però devi prendere il valore assoluto e fare le dovute considerazioni. Oppure dici dall'inizio studi la successione di funzioni solo per $x>0$.
Capito, grazie mille
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