Convergenza uniforme
ho $f_n(x)=(1-x^2/(5n))^(2n)$
devo studiare la convergenza puntuale e uniforme in R. Il limite puntuale è $f(x)=e^(-x^2/5)$, come studio la convergenza uniforme? La derivata viene una cosa non immediata da stimare
$d/dx{(1-x^2/(5n))^(2n)-e^(-2/5x^2)}=4/5 e^(-(2 x^2)/5) x - 4/5 x (1 - x^2/(5 n))^(-1 + 2 n)$
devo studiare la convergenza puntuale e uniforme in R. Il limite puntuale è $f(x)=e^(-x^2/5)$, come studio la convergenza uniforme? La derivata viene una cosa non immediata da stimare
$d/dx{(1-x^2/(5n))^(2n)-e^(-2/5x^2)}=4/5 e^(-(2 x^2)/5) x - 4/5 x (1 - x^2/(5 n))^(-1 + 2 n)$
Risposte
Se pensi un attimo a come sono fatte (il loro grafico) quelle funzioni $f_n(x)$, si vede subito che la convergenza uniforme non e' possibile.
Infatti, prendendo la definizione di c. uniforme, stabilisco un $\epsilon$, e mi chiedo se puo' esistere un $NN$, tale che $\forall x, \forall n \ge NN$, la definizione e' verificata.
Prendiamo questa definizione per fissare i simboli (https://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_funzioni#Convergenza_uniforme).
Per assurdo individuo questo $NN$.
Prendendo la $f_{NN}(x) = ((x^2)/(5 NN))^(2 NN)$,
devo verificare che $|f_{NN}(x) - e^(-x/5)| < \epsilon$.
Ora, se prendo delle $x$ "grandi", e' abbastanza facile vedere come la differenza cresca velocemente.
Per $x^2 > 5 NN$, $f_{NN}(x) > 1$, quindi posso verificare alternativamente
$f_{NN}(x) -1 < \epsilon$.
(Ho usato $NN$, ma non cambia nulla con $n > NN$).
Ma anche ora si vede immediatamente che, facendo crescere $x$ nel verso positivo, la funzione (monotona crescente), arriva prima o poi a superare $\epsilon$ (la supera molto velocemente, per $\epsilon$ piccoli).
Viene quindi a mancare la condizione $\forall x $, facendo cadere l'ipotesi di convergenza uniforme.
Infatti, prendendo la definizione di c. uniforme, stabilisco un $\epsilon$, e mi chiedo se puo' esistere un $NN$, tale che $\forall x, \forall n \ge NN$, la definizione e' verificata.
Prendiamo questa definizione per fissare i simboli (https://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_funzioni#Convergenza_uniforme).
Per assurdo individuo questo $NN$.
Prendendo la $f_{NN}(x) = ((x^2)/(5 NN))^(2 NN)$,
devo verificare che $|f_{NN}(x) - e^(-x/5)| < \epsilon$.
Ora, se prendo delle $x$ "grandi", e' abbastanza facile vedere come la differenza cresca velocemente.
Per $x^2 > 5 NN$, $f_{NN}(x) > 1$, quindi posso verificare alternativamente
$f_{NN}(x) -1 < \epsilon$.
(Ho usato $NN$, ma non cambia nulla con $n > NN$).
Ma anche ora si vede immediatamente che, facendo crescere $x$ nel verso positivo, la funzione (monotona crescente), arriva prima o poi a superare $\epsilon$ (la supera molto velocemente, per $\epsilon$ piccoli).
Viene quindi a mancare la condizione $\forall x $, facendo cadere l'ipotesi di convergenza uniforme.
Ciao, tu devi calcolare il
\[ \lim_{n \to \infty} \sup_{ x \in \mathbb{R}} \Biggl | \Biggl (1-\frac{x^2}{5n} \Biggr )^{2n}-e^{-\frac{2}{5}x^2} \Biggr | \]
Mica è detto che tu per forza debba trovare per \( n \) fissato quale è (se c'è) il punto \( x \in \mathbb{R} \) che massimizzi \( |f_n(x)-f(x)| \).
Cosa sai dire della funzione
\[ g_n(x) = \Biggl | \Biggl (1-\frac{x^2}{5n} \Biggr )^{2n}-e^{-\frac{2}{5}x^2} \Biggr | \]
?
EDIT: connessione 4g farlocca, chiedo venia, non mi dava la risposta precedente!
\[ \lim_{n \to \infty} \sup_{ x \in \mathbb{R}} \Biggl | \Biggl (1-\frac{x^2}{5n} \Biggr )^{2n}-e^{-\frac{2}{5}x^2} \Biggr | \]
Mica è detto che tu per forza debba trovare per \( n \) fissato quale è (se c'è) il punto \( x \in \mathbb{R} \) che massimizzi \( |f_n(x)-f(x)| \).
Cosa sai dire della funzione
\[ g_n(x) = \Biggl | \Biggl (1-\frac{x^2}{5n} \Biggr )^{2n}-e^{-\frac{2}{5}x^2} \Biggr | \]
?
EDIT: connessione 4g farlocca, chiedo venia, non mi dava la risposta precedente!
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