Convergenza uniforme
Salve a tutti, sto provando a dimostrare che la successione di funzioni $f_n(x)=e^{-\frac{nx^2}{n+x}}$ converge uniformemente a $f(x)=e^{-x^2}$ ma non riesco a valutare \( \sup _{x\ge0}|f_n(x)-f(x)| \) . Ho provato sia con la derivata che con alcune maggiorazioni ma non trovo nulla di utile. Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ciao Pierlu11,
Si ha:
[tex]\sup_{x \ge 0}|f_n(x) - f(x) | = \sup_{x \ge 0}|e^{-\frac{nx^2}{n+x}} - e^{-x^2}| = \sup_{x \ge 0} (e^{- x^2}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1|) \le \sup_{x \ge 0}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1|[/tex]
e [tex]\sup_{x \ge 0}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1| \le |e^{\frac{b^3}{n+b}} - 1| \to 0[/tex] per $n \to +\infty \qquad \AA x in [0, b], \quad 0 < b < +\infty $
Si ha:
[tex]\sup_{x \ge 0}|f_n(x) - f(x) | = \sup_{x \ge 0}|e^{-\frac{nx^2}{n+x}} - e^{-x^2}| = \sup_{x \ge 0} (e^{- x^2}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1|) \le \sup_{x \ge 0}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1|[/tex]
e [tex]\sup_{x \ge 0}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1| \le |e^{\frac{b^3}{n+b}} - 1| \to 0[/tex] per $n \to +\infty \qquad \AA x in [0, b], \quad 0 < b < +\infty $
Quel sup non mi sembra che tenda a zero, la funzione rimane illimitata per qualunque n.
Si è considerato che $e^{-x^2} \le 1 quad \AA x \ge 0 $
Occhio che è $n \to +\infty $, non $x \to +\infty $...
Occhio che è $n \to +\infty $, non $x \to +\infty $...
Il sup è al variare di x! Bisogna tenere n fisso e calcolare il sup della funzione che vede n come un "parametro". Nel caso che mi hai proposto la funzione è sempre illimitata e far tendere n all'infinito non ha più senso se il sup è costantemente infinito.
Con il metodo che stai adottando tu tutte le successioni convergerebbero uniformemente perché quella differenza è SEMPRE ZERO PER DEFINIZIONE per n che va all'infinito!
Con il metodo che stai adottando tu tutte le successioni convergerebbero uniformemente perché quella differenza è SEMPRE ZERO PER DEFINIZIONE per n che va all'infinito!
"pilloeffe":
[tex]\sup_{x \ge 0} (e^{- x^2}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1|) \le \sup_{x \ge 0}|e^{\frac{x^3}{n+x}} - 1|[/tex]
Il problema è qui, questa stima è troppo brutale ed effettivamente il membro destro è uguale a \(\infty\) per ogni \(n\). Non ti conviene buttare via così quel \(e^{-x^2}\)
Sono tornato qui sopra, effettivamente è un esercizio un po' sottile. Pilloeffe è partito bene, io continuerei così: dobbiamo calcolare questo sup
\[
\sup_{x\ge 0 } ( e^{-x^2} |\exp \frac{x^3}{n+x}-1|), \]
quindi calcoliamo la derivata
\[
\frac{d}{dx}\exp \frac{x^3}{n+x}-1 = \frac{x^2}{(n+x)^2} (2x+3n)\exp \frac{x^3}{n+x}, \]
che si annulla per \(x=0, x=\frac{3n}{2}\), quindi
\[\sup_{x\ge 0 } ( e^{-x^2} |\exp \frac{x^3}{n+x}-1|) = \left.\left[ \exp \frac{-n}{n+x}x^2 -\exp(-x^2) \right]\right|_{x=\frac{3n}2}.\]
Eccetera
\[
\sup_{x\ge 0 } ( e^{-x^2} |\exp \frac{x^3}{n+x}-1|), \]
quindi calcoliamo la derivata
\[
\frac{d}{dx}\exp \frac{x^3}{n+x}-1 = \frac{x^2}{(n+x)^2} (2x+3n)\exp \frac{x^3}{n+x}, \]
che si annulla per \(x=0, x=\frac{3n}{2}\), quindi
\[\sup_{x\ge 0 } ( e^{-x^2} |\exp \frac{x^3}{n+x}-1|) = \left.\left[ \exp \frac{-n}{n+x}x^2 -\exp(-x^2) \right]\right|_{x=\frac{3n}2}.\]
Eccetera
Ciao dissonance,
Magari sono io che soffro di demenza senile (per citare il mitico orsoulx...
), ma quella derivata si annulla per $ x = - frac{3n}{2} $ (fuori dal range del $s u p $ che è $x \ge 0 $ dato che $n \in \NN_{>0} $ ) e in $x = 0 $. Ora in effetti in $ x = - frac{3n}{2} $ c'è un massimo, che però non è il $s u p $, mentre in $x = 0 $ c'è un minimo e per $x > 0 $ la derivata è sempre positiva e quindi la funzione è sempre crescente... Correggimi se sbaglio.
Magari sono io che soffro di demenza senile (per citare il mitico orsoulx...
), ma quella derivata si annulla per $ x = - frac{3n}{2} $ (fuori dal range del $s u p $ che è $x \ge 0 $ dato che $n \in \NN_{>0} $ ) e in $x = 0 $. Ora in effetti in $ x = - frac{3n}{2} $ c'è un massimo, che però non è il $s u p $, mentre in $x = 0 $ c'è un minimo e per $x > 0 $ la derivata è sempre positiva e quindi la funzione è sempre crescente... Correggimi se sbaglio.
E si, per forza, non è quella la derivata giusta. Ho fatto lo stesso errore tuo: non ho considerato \(e^{-x^2}\). Bisogna calcolare la derivata di tutta la differenza:
\[
\frac{d}{dx}\left( \exp\frac{-nx^2}{n+x} - \exp(-x^2) \right), \]
dove possiamo scordarci del valore assoluto perché \(\exp\frac{-nx^2}{n+x} \le \exp(-x^2)\) per \(x\ge 0\). Io penso che ci sia un massimo da qualche parte intorno a \(x=n\) e poi tutto tende a zero. Si tratta di vedere che succede in questo massimo.
\[
\frac{d}{dx}\left( \exp\frac{-nx^2}{n+x} - \exp(-x^2) \right), \]
dove possiamo scordarci del valore assoluto perché \(\exp\frac{-nx^2}{n+x} \le \exp(-x^2)\) per \(x\ge 0\). Io penso che ci sia un massimo da qualche parte intorno a \(x=n\) e poi tutto tende a zero. Si tratta di vedere che succede in questo massimo.
Ciao dissonance,
Prima che questo thread sparisca in seconda pagina, devo dirti che la faccenda non mi torna... Innanzitutto se è vero che come scrivi $ e^{frac{-nx^2}{n+x} } \le \e^{-x^2} $ allora il modulo serve, altrimenti la quantità risulta negativa. Comunque non è neanche questo il problema, nel senso che anche considerando
$ \frac{d}{dx}(e^(-x^2) - e^{\frac{-nx^2}{n+x}}) $
non mi risulta che tale derivata si annulli da qualche parte intorno a $ x = n $, ma solo in $ x = 0 $ che non è un punto di massimo per la funzione proposta...
Prima che questo thread sparisca in seconda pagina, devo dirti che la faccenda non mi torna... Innanzitutto se è vero che come scrivi $ e^{frac{-nx^2}{n+x} } \le \e^{-x^2} $ allora il modulo serve, altrimenti la quantità risulta negativa. Comunque non è neanche questo il problema, nel senso che anche considerando
$ \frac{d}{dx}(e^(-x^2) - e^{\frac{-nx^2}{n+x}}) $
non mi risulta che tale derivata si annulli da qualche parte intorno a $ x = n $, ma solo in $ x = 0 $ che non è un punto di massimo per la funzione proposta...
La disuguaglianza era al contrario: \(\exp\frac{-nx^2}{n+x}\ge \exp(-x^2)\), pardon. (Dimostrazione: \(a_n(x)=\frac{n}{n+x}\le 1\) e siccome \(f(x)=\exp(-x^2)\) è decrescente su \(x\ge 0\), allora \(f(a_n(x)x)\ge f(x)\).) Comunque, era per dire che non c'è bisogno del valore assoluto che è una scocciatura al momento di derivare, come hai detto.
Quanto all'annullamento della derivata, io non ho fatto altro che un paio di grafici:
http://fooplot.com/#W3sidHlwZSI6MCwiZXE ... I1Il19XQ--
Questo è \(\exp\frac{-nx^2}{n+x} - \exp(-x^2)\) con \(n=4\). Se fai qualche esperimento vedi che c'è sempre un massimo, ma non vicino a \(n\) come avevo erroneamente detto prima. Mi pare che il massimo sia sempre nello stesso punto, tra \(1\) e \(1.5\), e tende a zero per \(n\to \infty\), quindi la convergenza è uniforme. Solo che queste cose le bisogna dimostrare!
Quanto all'annullamento della derivata, io non ho fatto altro che un paio di grafici:
http://fooplot.com/#W3sidHlwZSI6MCwiZXE ... I1Il19XQ--
Questo è \(\exp\frac{-nx^2}{n+x} - \exp(-x^2)\) con \(n=4\). Se fai qualche esperimento vedi che c'è sempre un massimo, ma non vicino a \(n\) come avevo erroneamente detto prima. Mi pare che il massimo sia sempre nello stesso punto, tra \(1\) e \(1.5\), e tende a zero per \(n\to \infty\), quindi la convergenza è uniforme. Solo che queste cose le bisogna dimostrare!
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