Convergenza uniforme
Ciao a tutti, volevo chiedervi se sto svolgendo bene questo esercizio sulla convergenza uniforme. Si consideri la successione di funzioni $f_n (x) = \frac{(n+1)x+n^2x^3}{1+n^2x^2}$, $x\in\mathbb{R}$. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione $(f_n)_n$ su $\mathbb{R}$.
Io ho calcolato il limite puntuale della successione, che è $x$. Poi per studiare la convergenza uniforme ho fatto la differenza $|\frac{(n+1)x+n^2x^3}{1+n^2x^2}-x| = |\frac{nx}{1+n^2x^2}|$ : dato che $|\frac{nx}{1+n^2x^2}| \le |\frac{1}{nx}|$ e $|\frac{1}{nx}| \rightarrow 0$ per $n \rightarrow \infty$, allora c'è convergenza uniforme in quanto $\lim_{n\to\infty}$ sup $|\frac{nx}{1+n^2x^2}| = 0$.
Può andare bene o devo studiare la derivata di $\frac{nx}{1+n^2x^2}$?
Io ho calcolato il limite puntuale della successione, che è $x$. Poi per studiare la convergenza uniforme ho fatto la differenza $|\frac{(n+1)x+n^2x^3}{1+n^2x^2}-x| = |\frac{nx}{1+n^2x^2}|$ : dato che $|\frac{nx}{1+n^2x^2}| \le |\frac{1}{nx}|$ e $|\frac{1}{nx}| \rightarrow 0$ per $n \rightarrow \infty$, allora c'è convergenza uniforme in quanto $\lim_{n\to\infty}$ sup $|\frac{nx}{1+n^2x^2}| = 0$.
Può andare bene o devo studiare la derivata di $\frac{nx}{1+n^2x^2}$?
Risposte
Buon tentativo, ma devi fare sparire quella \(x\) dalla stima superiore. In altre parole, devi dare una stima di
\[
\sup_{x\in \mathbb R} \left\lvert \frac{ nx}{1+n^2x^2}\right\rvert, \]
e questa non può dipendere da \(x\). Per il momento, è meglio che tu calcoli il sup di \(\left\lvert \frac{ nx}{1+n^2x^2}\right\rvert\) usando il calcolo differenziale e usi il risultato per studiare la convergenza uniforme. Infatti, il risultato non è quello che hai trovato: non c'è convergenza uniforme su tutto \(\mathbb R\).
Quando avrai risolto l'esercizio con metodi standard, discuteremo come si poteva usare la tua idea, che è molto buona.
\[
\sup_{x\in \mathbb R} \left\lvert \frac{ nx}{1+n^2x^2}\right\rvert, \]
e questa non può dipendere da \(x\). Per il momento, è meglio che tu calcoli il sup di \(\left\lvert \frac{ nx}{1+n^2x^2}\right\rvert\) usando il calcolo differenziale e usi il risultato per studiare la convergenza uniforme. Infatti, il risultato non è quello che hai trovato: non c'è convergenza uniforme su tutto \(\mathbb R\).
Quando avrai risolto l'esercizio con metodi standard, discuteremo come si poteva usare la tua idea, che è molto buona.
Dunque, la derivata di $g_n (x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}$ è $g'_n (x) = \frac{n-n^3x^2}{(1+n^2x^2)^2}$, che è maggiore o uguale a 0 per $x\in [-1/n;1/n]$. Per $x = 1/n$ si ha un massimo, che è $g_n (1/n) = 1/2 \ne 0$, quindi non si ha convergenza uniforme, giusto?
Si (occhio che stai facendo l'analisi per \(x>0\), devi usare la simmetria per riflettere il tutto a \(x< 0\)).
Ma si ha convergenza uniforme su tutti gli intervalli di tipo \( (-\infty, -a] \cup [a, \infty)\), con \(a>0\). E questo lo potevi facilmente concludere con la stima che hai trovato nel primo post.
Potevi anche accorgerti ad occhio che non c'è convergenza uniforme, perché ponendo \(x=\frac 1 n\) trovi che \(|f_n(x)-f(x)|=\frac12\), e quindi non può tendere a \(0\).
Ma si ha convergenza uniforme su tutti gli intervalli di tipo \( (-\infty, -a] \cup [a, \infty)\), con \(a>0\). E questo lo potevi facilmente concludere con la stima che hai trovato nel primo post.
Potevi anche accorgerti ad occhio che non c'è convergenza uniforme, perché ponendo \(x=\frac 1 n\) trovi che \(|f_n(x)-f(x)|=\frac12\), e quindi non può tendere a \(0\).
E questo lo potevi facilmente concludere con la stima che hai trovato nel primo post.
Quindi posso affermare che per ogni intervallo del tipo $(-\infty , a] \cup [a,+\infty )$ si ha definitivamente
$|\frac{nx}{1+n^2x^2}| \le |\frac{1}{nx}| \le |\frac{1}{na}| \to 0 $ per $n\to\infty$
quindi c'è convergenza uniforme su tali intervalli.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo