Convergenza uniforme

[Fausto11]

Ho dei problemi con la definizione dell'intervallo di convergenza uniforme delle serie. Capisco che a volte sia più facile trovarlo dimostrando la convergenza totale, ma l'insieme di convergenza uniforme potrebbe essere più grande.
Per esempio come trovo l'intervallo di convergenza puntuale e uniforme di questa serie:

\( \sum_{k=1}\) $ x^7 e^(-k^3 x^7) $

Ho provato a ragionare così:

$ |x^7 e^(-k^3 x^7)| ≤ |e^(-k^3 x^7)| $ se \( x<1 \) e dato che quest' ultima converge, anche la serie dei moduli converge assolutamente puntualmente. Ma so dal risultato che che è sbagliato. Poi la convergenza uniforme non saprei proprio come fare

[gugo82]

Basta guardare cosa succede per $x\geq 0$, perché per $x<0$ non c'è convergenza nemmeno puntuale.
Il $k$-esimo addendo ha derivata prima uguale a:
\[
7x^6(1-k^3x^7)e^{-k^3x^7}
\]
dunque essa prende il suo massimo assoluto in $x_k:=1/k^(3/7)$, tale massimo essendo uguale a $M_K:=1/k^3 e^(-1)$.
Poiché la serie numerica $\sum M_k$ formata dai massimi è convergente, hai convergenza totale, dunque assoluta ed uniforme, su tutto $[0,+oo[$.

[Fausto11]

Il fatto che per x<0 non converga deriva dal criterio di Abel (Leibniz)?
Però non mi torna poiché il risultato del professore per la convergenza uniforme è $ [1, oo) $ e non $ [0, oo) $

[ostrogoto1]

Per $ x<0 $ non c'e' convergenza puntuale perche' non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza ossia che il termine generale converga a 0, $ x^7e^(-k^3x^7)rarr-oo $ per $ krarr+oo $ e $ x<0 $