Convergenza uniforme

[stagna1]

ciao a tutti, mi è assolutamente oscuro da dove esca $1/4$.

se ho capito bene il procedimento dovrei ridurmi a calcolare l'estremo superiore che assume l'espressione $|(x-n)(n+1-x)| $ quando $x$ varia in $[n,n+1]$. a me risulta $1$.

grazie per l'aiuto.

[dissonance]

Non fa \(1\), rifai bene i conti. Ma comunque, a livello qualitativo \(1/4\) o \(1\) o \(\text{un miliardesimo}\) cambia poco: sei d'accordo?

[stagna1]

certo, nel nostro caso è irrilevante dato che per la convergenza uniforme il limite deve essere $0$.

vorrei però capire perchè sbaglio i conti ed essere sicuro di non fare sbagli concettuali.

[stagna1]

allora ho rivisto i conti.

devo valutare l'estremo superiore che assume l'espressione $ |(x-n)(n+1-x)| $ quando $ x $ varia in $ [n,n+1] $.

essendo l'intervallo chiuso cerco il massimo della funzione al variare di $x$, derivo $ |(x-n)(n+1-x)| $, sviluppo e la derivata prima risulta $-2x+2n+1$. per trovare il massimo pongo la derivata prima uguale a zero ed ottengo $x=(2n+1)/2$.

ora sostituendo $x=(2n+1)/2$ in $ |(x-n)(n+1-x)| $ ottengo appunto $1/4$ (quindi è superfluo calcolare $ \lim_{n \to \+infty} $).

grazie dissonance.

[dissonance]

Si, esatto. La prossima volta, per fare prima, applica il cambio di variabile \(x=y+n\). Ti riduci così a calcolare il sup su \([0,1]\) di \(y(1-y)\), che è molto più semplice ed eviti di sbagliare.

[stagna1]

bello il cambio di variabile è una di quelle cose che dimentico sempre.

grazie!