Convergenza uniforme
Praticamente il libro (E. Giusti) vuole sapere se le successioni, che convergono puntualmente in (0,1) alla funzine 0, convergono anche uniformemente in tale intervallo, le tre successioni sono:
\(\displaystyle 1. \frac{sin(nx)}{(nx)} \)
\(\displaystyle 2. \frac{sin(\sqrt{n}x)}{(nx)} \)
\(\displaystyle 3. \frac{sin(nx^2)}{(nx)} \)
ora da i calcoli che ho fatto, la prima, è continua e decrescente nell'intervallo (0,1) quindi ha un massimo che si trova in 0 e vale 1 $\ne$ 0, quindi il limite per n che tende a infinito di \(\displaystyle \frac{sin(0)}{(0)} \) vale 1 e quindi la serie non converge uniformemente in (0,1) e anche il libro dice che non converge.
le altre 2 invece il libro dice che convergono anche uniformemente, ma a me sembrano molto simili
ad esempio la seconda continua, decrescente, massimo in 0, limite =1... perché dovrebbe convergere uniformemente in (0,1)?
\(\displaystyle 1. \frac{sin(nx)}{(nx)} \)
\(\displaystyle 2. \frac{sin(\sqrt{n}x)}{(nx)} \)
\(\displaystyle 3. \frac{sin(nx^2)}{(nx)} \)
ora da i calcoli che ho fatto, la prima, è continua e decrescente nell'intervallo (0,1) quindi ha un massimo che si trova in 0 e vale 1 $\ne$ 0, quindi il limite per n che tende a infinito di \(\displaystyle \frac{sin(0)}{(0)} \) vale 1 e quindi la serie non converge uniformemente in (0,1) e anche il libro dice che non converge.
le altre 2 invece il libro dice che convergono anche uniformemente, ma a me sembrano molto simili
ad esempio la seconda continua, decrescente, massimo in 0, limite =1... perché dovrebbe convergere uniformemente in (0,1)?
Risposte
Beh, ad esempio, essendo \(|\sin y|\leq y\) per \(y\geq 0\), hai:
\[
\left| \frac{\sin \sqrt{n}\ x}{n\ x} - 0\right| = \frac{|\sin \sqrt{n}\ x|}{n\ x} \leq \frac{\sqrt{n}\ x}{n\ x} =\frac{1}{\sqrt{n}}
\]
per ogni \(x\in [0,1]\), sicché:
\[
\sup_{x\in [0,1]} \left| \frac{\sin \sqrt{n}\ x}{n\ x} - 0\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\to 0
\]
e la convergenza è uniforme.
\[
\left| \frac{\sin \sqrt{n}\ x}{n\ x} - 0\right| = \frac{|\sin \sqrt{n}\ x|}{n\ x} \leq \frac{\sqrt{n}\ x}{n\ x} =\frac{1}{\sqrt{n}}
\]
per ogni \(x\in [0,1]\), sicché:
\[
\sup_{x\in [0,1]} \left| \frac{\sin \sqrt{n}\ x}{n\ x} - 0\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\to 0
\]
e la convergenza è uniforme.
innanzitutto grazie per la risposta.
Però avrei un dubbio nel terzo caso, effettuando la stessa maggiorazione, la n si semplifica e limite non tende più a zero, ma a x.
Bisogna effettuare un altro procedimento?
edit: ho visto con wolfarm che in questo caso la funzione è crescente e quindi il massimo cel'ha in 1 ed il limite per n che tende ad infinito di seno di n su n deve tendere a zero.
Però c'è una cosa che non ho capito, come fare a trovare i punti stazionari della funzione tra 0 e 1? eguagliando la derivata prima uguale a zero mi viene:
\(\displaystyle tg(nx^2)=2nx^2 \)
Però avrei un dubbio nel terzo caso, effettuando la stessa maggiorazione, la n si semplifica e limite non tende più a zero, ma a x.
Bisogna effettuare un altro procedimento?
edit: ho visto con wolfarm che in questo caso la funzione è crescente e quindi il massimo cel'ha in 1 ed il limite per n che tende ad infinito di seno di n su n deve tendere a zero.
Però c'è una cosa che non ho capito, come fare a trovare i punti stazionari della funzione tra 0 e 1? eguagliando la derivata prima uguale a zero mi viene:
\(\displaystyle tg(nx^2)=2nx^2 \)
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