Convergenza uniforme

sradesca
potreste spiegarmi la differenza tra convergenza puntuale e convergenza uniforme di una successione di funzioni? formalmente lo so: in sostanza il punto N scelto a partire dal quale si verifica $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ dipende rispettivamente da $\epsilon$ e da $x$, e da $\epsilon$ solo, ma non riesco a capire bene la differenza; in particolare perché una successione di funzioni converge puntualmente a $f$ se sup${|f_n(x)-f(x)|}<\epsilon$? Grazie per le risposte

Risposte
theras
Ciao!
Posso dirti come,dopo lungo penare,a suo tempo interpretai l'importanza di quella differenza che,erroneamente,
consideravo inizialmente non sostanziale;
diciamo che se la convergenza è "solo" puntuale la successione di quegli indici potrebbe,dipendendo pure da $x$,
"scappar via" al variare di $x inX$($=domf_n$ $AAn inNN$..),
mentre se è "addirittura" uniforme ciò non accade,ed anzi tale successione si "appiattisce" comodamente verso l'asse delle ascisse indipendentemente dalla scelta di $x inX$:
e l'importanza di tale ipotesi "aggiuntiva" si rivelerà capitale,
per poter affermare alcune fondamentali conseguenze della convergenza che non sarebbero lecite in caso di sola convergenza semplice..
Saluti dal web.

sradesca
scusa se non capisco ancora ma cosa intendi per "scappar via"?

theras
Intendevo dire,
per meglio spiegarmi
(in effetti,rileggendomi,forse non era chiaro..),
che l'indice a partire dal quale è vera la disequazione $|f_n(x)-f(x)| e questo,
se pensi all'interpretazione grafica della continuità d'una funzione in un insieme numerico,
potrebbe avere ripercursioni ferali sulla certezza che $f$ sia continua
(potrebbe non bastare neanche che lo siano tutte le $f_n$..):
certezza che invece avremmo,
sfruttando pure la disuguaglianza triangolare,
se quellla successione d'estremi superiori è infinitesima!
Saluti dal web.

sradesca
ho capito

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