Convergenza uniforma successioni - monotonia

[Blue_87]

Consiederate il seguente teorema:

Sia \(\displaystyle f_n(x): [a,b]\to R \) una successione di funzioni crescenti (decrescenti) rispetto ad \(\displaystyle x\in [a,b] \) che converge puntualmente verso la funzione continua \(\displaystyle f:[a,b]\to R \). Allora \(\displaystyle f \) è crescente (decrescente) e la convergenza è uniforme in \(\displaystyle [a,b] \).

Chiedo se questo teorema vale anche se sostituisco all'intervallo \(\displaystyle [a,b] \) tutto \(\displaystyle R \).

[dissonance]

Che il limite sia una funzione crescente è ancora vero, senza problemi. Ma che la convergenza sia uniforme purtroppo è falso. Un controesempio molto facile è \(f_n(x)=x / n\).

[Blue_87]

Ok. E posso dire che se le \(\displaystyle f_n \) sono decrescenti e convergenti uniformemente la funzione limite è decrescente?

[dissonance]

Guarda, se tutte le \(f_n\) sono crescenti (o decrescenti), è chiaro che pure il limite puntuale è ancora crescente (decrescente). Ma questo lo vedi senza ricorrere a teoremazzi vari. Per ipotesi hai che

\[\forall x < y,\quad f_n(x) \le f_n(y)\]

quindi passando al limite (è sufficiente il limite puntuale)

\[\forall x < y,\quad f(x) \le f(y)\]

perciò \(f\) è crescente. Fine.