Convergenza unif. successione di funzioni
La mia successione è $ f_n(x)= x/(x+n)$ con $x in D:=[0,+infty)$
allora vedo che il limite puntuale è $lim_n x/(x+n)=0$ per ogni $x$
$lim_n|| f_n(x)-f(x)||_infty = lim_n $sup$|x/(x+n)| $
A questo punto cerco un punto di massimo con la derivata prima, vedo che non si annulla mai essendo:
$f_n(x)^{\prime}(x)=n/(x+n)^2$
come posso fare a questo punto?perchè non riesco a vedere neanche un modo facile con la convergenza totale?
allora vedo che il limite puntuale è $lim_n x/(x+n)=0$ per ogni $x$
$lim_n|| f_n(x)-f(x)||_infty = lim_n $sup$|x/(x+n)| $
A questo punto cerco un punto di massimo con la derivata prima, vedo che non si annulla mai essendo:
$f_n(x)^{\prime}(x)=n/(x+n)^2$
come posso fare a questo punto?perchè non riesco a vedere neanche un modo facile con la convergenza totale?
Risposte
Va be', ma hai finito: che segno ha la derivata prima? Quindi la funzione in $[0,+infty)$ è ... e pertanto il suo sup è ... .
Rilancio: c'è convergenza uniforme sui compatti $[a,b] \subset [0,+infty)$? E su tutto $RR setminus {-n}$?
Comunque, una volta stabilito il limite puntuale, per vedere se c'è convergenza uniforme o meno, di solito si usa il "trucco" della derivata prima. Per usare i trucchi, però, in Matematica, bisogna sapere quello che veramente ci sta sotto. Prima di agire, devi chiederti: "A che scopo uso la derivata prima?" In generale, poi, a me non piace vedere la derivata prima e stop. Insomma, non costa nulla fare un piccolo studio di funzione, con segno, parità, limiti agli estremi: e questo molte volte aiuta.
Rilancio: c'è convergenza uniforme sui compatti $[a,b] \subset [0,+infty)$? E su tutto $RR setminus {-n}$?
Comunque, una volta stabilito il limite puntuale, per vedere se c'è convergenza uniforme o meno, di solito si usa il "trucco" della derivata prima. Per usare i trucchi, però, in Matematica, bisogna sapere quello che veramente ci sta sotto. Prima di agire, devi chiederti: "A che scopo uso la derivata prima?" In generale, poi, a me non piace vedere la derivata prima e stop. Insomma, non costa nulla fare un piccolo studio di funzione, con segno, parità, limiti agli estremi: e questo molte volte aiuta.
Grazie Paolo per la risposta!
La funzione in $[0,+infty)$ è sempre crescente è il sup è $infty$, sono sicuro adesso che me l'hai riaccennato che la convergenza uniforme ci sia sui compatti perchè la successione dei sup con $x$ fissato va a $0$, e questo dovrebbe valere anche per $RR-{-n}$. Giustamente pensando a quello che cercavo (una successione di massimmi tendenti a 0), avrei dovuto subito pensare che per averli mi servivono intervalli chiusi e quindi si parlava di convergenza uniforme sui compatti.
Per la convergenza uniforme c'è qualche altro "trucco" sotto mano?
La funzione in $[0,+infty)$ è sempre crescente è il sup è $infty$, sono sicuro adesso che me l'hai riaccennato che la convergenza uniforme ci sia sui compatti perchè la successione dei sup con $x$ fissato va a $0$, e questo dovrebbe valere anche per $RR-{-n}$. Giustamente pensando a quello che cercavo (una successione di massimmi tendenti a 0), avrei dovuto subito pensare che per averli mi servivono intervalli chiusi e quindi si parlava di convergenza uniforme sui compatti.
Per la convergenza uniforme c'è qualche altro "trucco" sotto mano?
"puretone":
Grazie Paolo per la risposta!
Prego, figurati.
"puretone":
La funzione in $[0,+infty)$ è sempre crescente è il sup è $infty$
Ehmm, sicuro? Ecco perchè nel post sopra dicevo di fare un piccolo studio di funzione: d'accordo, la funzione è monotona, ma quanto vale, per $n \in NN$ fissato, $lim_{x to +infty} f_n(x)$?
"puretone":
sono sicuro adesso che me l'hai riaccennato che la convergenza uniforme ci sia sui compatti perchè la successione dei sup con $x$ fissato va a $0$
Be', sì, sui compatti $[a,b] \subset [0,+infty)$ c'è convergenza uniforme: osservo, tra l'altro, che, per Weiestrass, il sup è un max e, per la monotonia della funzione, è raggiunto nell'estremo destro: dunque $"sup"_{x in [a,b]} f_(n)(x)="max"_{x in [a,b]} f_(n)(x)=f_{n}(b)$ e, come dici tu, per $n to +infty$, si ha $f_{n}(b) to 0$.
"puretone":
e questo dovrebbe valere anche per $RR-{-n}$.
Ne sei sicuro? Personalmente ho dei dubbi circa il comportamento di $f_{n}(x)$ vicino a $x=-n$...
Hai ragione scusami Paolo,mi sono sbagliato intendevo a x fissato, mentre per n fissato all'infinito chiramente va a 1.
Mentre rimango dubbioso circo quello che dicevi alla fine.
Mentre rimango dubbioso circo quello che dicevi alla fine.
"puretone":
Mentre rimango dubbioso circo quello che dicevi alla fine.
Intendi riguardo la convergenza su tutto $RR setminus {-n}$? Be', fissato $n$, la funzione $x/(x+n)$ non è limitata in un intorno di $x=-n$, dunque vedo difficile che converga uniformemente a qualcosa...
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