Convergenza totale serie di potenze

[maryenn1]

Ciao a tutti,qualcuno potrebbe spiegarmi come si fa a studiare la convergenza totale di una serie di potenze?
Ad esempio:
$sum_{n=0}^oo (-1)^n/(n+2^n) *(x^2-1)^n$
Grazie !

[ostrogoto1]

Valgono le due disuguaglianze per $ AAx\inRR $
$ 1/2((x^2-1)/2)^n<(x^2-1)^n/(n+2^n) $ (1)
$ (x^2-1)^n/(n+2^n)<((x^2-1)/2)^n $ (2)

Per la condizione necessaria, considerando che nella (2) $ ((x^2-1)/2)^nrarr0 $ per $ -1<(x^2-1)/2<1 $ cioe' $ -sqrt(3) Per $ |x|>sqrt(3) $ poiche' nella (1) $ 1/2((x^2-1)/2)^nrarr+oo $ per $ nrarr+oo $ non ci puo' essere convergenza puntuale per la condizione necessaria di convergenza.
Per $ x=sqrt(3) $ si ha $ (x^2-1)^n/(n+2^n)=2^n/(n+2^n)rarr1 $ per $ nrarr+oo$ non c'e' convergenza puntuale per la condizione necessaria di convergenza.
Conclusione: convergenza puntuale su $ (-sqrt(3),sqrt(3)) $

[scusa ho dimenticato il $ (-1)^n $, ora sistemo e riposto la parte successiva del messaggio] Sorry.

[ostrogoto1]

Giusto quanto sopra per la convergenza puntuale.
Non c'e' convergenza totale su $ (-sqrt(3),sqrt(3)) $ in quanto non c'e' quella uniforme. Per un teorema se una serie converge uniformemente allora il suo termine generale deve convergere uniformemente a 0 e questo non capita in questo caso:
$ lim_(nrarr+oo)Sup_(x\in(-sqrt(3),sqrt(3)))|(-1)^n(x^2+1)^n/(n+2^n)|!=0 $
D'altra parte su un intervallo $ [-alpha,alpha] $ con $ 0 $ |(-1)^n(x^2+1)^n/(n+2^n)|<((alpha^2-1)/2)^n $ per la (2) del precedente messaggio
e la serie geometrica numerica $ sum_(n=0)^(+oo)((alpha^2-1)/2)^n $ converge in quanto $ (alpha^2-1)/2<1 $.