Convergenza totale implica uniforme convergenza

[ludwigZero]

salve
volevo un chiarimento su un passaggio della dimostrazione su
conv totale -> conv uniforme

la dimostrazione dice:
se $|f_{n}(x)| (essendo per ipotesi serie di funzione totalmente convergente)

Per il criterio di Cauchy:
$M_{k+1} + .... + M_{k+p} < \epsilon$ (relativo alle serie numeriche)
$\forall x \in I , \forall k > \ni_{\epsilon} , \forall p \in N$

osserviamo dunque che:
$|f_{k+1}(x)+....+f_{k+p}(x)| <|f_{k+1}(x)|+....+|f_{k+p}(x)| < M_{k+1} + .... + M_{k+p} < \epsilon$

quindi togliendo i passaggi intermedi si ha:
$|f_{k+1}(x)+....+f_{k+p}(x)| < \epsilon$ che sarebbe la convergenza uniforme

io vorrei capire questi due passaggi:
1) $M_{k+1} + .... + M_{k+p} < \epsilon$
2) $|f_{k+1}(x)+....+f_{k+p}(x)| <|f_{k+1}(x)|+....+|f_{k+p}(x)|$
sarebbe una diseguaglianza di cauchy-schwartz?
inoltre
3) $|f_{k+1}(x)+....+f_{k+p}(x)| < \epsilon$ è una generalizzazione della definizione di convergenza uniforme a più termini? Poichè io conosco per le serie di funzioni questa definizione:

$|f(x) - \sum f_{k}(x)|<\epsilon$ per ogni indice che dipende solo da $\epsilon$ o meglio attraverso il resto parziale di indici $n$ e $p$ $|r_{n,p}|<\epsilon$

spero in qualche illuminante spiegazione :dry:

[gugo82]

Tre parole: Criterio di Cauchy.