Convergenza totale e uniforme serie di funzioni
Salve a tutti!
Sono alle prese con un esercizio sulle serie di funzioni. L'esercizio chiede di studiare la convergenza totale, uniforme e puntuale della seguente serie:
$sum_{n=1}^infty (-1)^n (n+x^2)/(x+n^2)$
per la convergenza puntuale ho provato con la convergenza assoluta: $|(-1)^n (n+x^2)/(x+n^2)| = (n+x^2)/(x+n^2) ~ 1/n$ e quindi non converge assolutamente.
Poi ho provato ad applicare il criterio di Leibniz e qui mi sono venuti dei dubbi:
1) Il termine $(n+x^2)/(x+n^2)$ non è definito per $x = -n^2$, ciò cosa comporta?
2) Come faccio a dimostrare formalmente che $(n+x^2)/(x+n^2)$ è decrescente per poter applicare questo criterio?
Sono i primi esercizi sulle serie di funzioni che faccio e mi pianto ancora prima di partire...
Sono alle prese con un esercizio sulle serie di funzioni. L'esercizio chiede di studiare la convergenza totale, uniforme e puntuale della seguente serie:
$sum_{n=1}^infty (-1)^n (n+x^2)/(x+n^2)$
per la convergenza puntuale ho provato con la convergenza assoluta: $|(-1)^n (n+x^2)/(x+n^2)| = (n+x^2)/(x+n^2) ~ 1/n$ e quindi non converge assolutamente.
Poi ho provato ad applicare il criterio di Leibniz e qui mi sono venuti dei dubbi:
1) Il termine $(n+x^2)/(x+n^2)$ non è definito per $x = -n^2$, ciò cosa comporta?
2) Come faccio a dimostrare formalmente che $(n+x^2)/(x+n^2)$ è decrescente per poter applicare questo criterio?
Sono i primi esercizi sulle serie di funzioni che faccio e mi pianto ancora prima di partire...
Risposte
Secondo me l'esercizio va risolto per \(x\ge 0\). In ogni caso se ti chiedessero di risolverlo per \(x\in \mathbb R\) puoi sempre obiettare che il termine generale non è definito per tutte le \(x<0\). Assumi che \(x\ge 0 \) senza patemi d'animo.
Grazie!
Effettivamente il testo non specificava niente sull'intervallo di convergenza. Per quanto riguarda il secondo punto non so ancora come muovermi. Ad occhio mi sembra sia definitivamente decrescente ma non so come dimostrarlo. Quando dovevo farlo per le serie numeriche potevo dimostrare che: $a_(n+1) <= a_(n)$ oppure passando momentaneamente dal discreto al continuo $(a_(n) -> a(x))$ derivavo e verificavo se la derivata prima era negativa. Provando con queste tecniche in questo caso mi ritrovo con delle disequazioni del tipo $n>f(x)$ che non so come interpretare.
Effettivamente il testo non specificava niente sull'intervallo di convergenza. Per quanto riguarda il secondo punto non so ancora come muovermi. Ad occhio mi sembra sia definitivamente decrescente ma non so come dimostrarlo. Quando dovevo farlo per le serie numeriche potevo dimostrare che: $a_(n+1) <= a_(n)$ oppure passando momentaneamente dal discreto al continuo $(a_(n) -> a(x))$ derivavo e verificavo se la derivata prima era negativa. Provando con queste tecniche in questo caso mi ritrovo con delle disequazioni del tipo $n>f(x)$ che non so come interpretare.
Non ti fare blocchi psicologici, sono semplici disequazioni (in \(n\)) dipendenti dal parametro \(x\). Tu risolvi e poi interpreta il risultato. Per esempio, se la disequazione \(a_{n+1}(x)\le a_n(x)\) ha per soluzione \(n \ge f(x)\), come dici tu, significa che per ogni \(x\) fissato il termine generale è decrescente per \(n\) sufficientemente grande, dove il "sufficientemente grande" dipende da \(x\).
(Questo dimostra che la serie è puntualmente convergente e suggerisce che la convergenza potrebbe non essere uniforme).
(Questo dimostra che la serie è puntualmente convergente e suggerisce che la convergenza potrebbe non essere uniforme).
Grazie ancora per la risposta. Ho provato a fare i conti e forse sono stato troppo ottimista...
calcolando $a_(n+1)<=a_(n)$ ossia $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) <= (n+x^2)/(x+n^2)$ ho ottenuto tale mostruosità:
$(n^2+2nx^2+n+x^2-x)/((n^2+x)(x+n^2+2n+1)) >0$
Il denominatore è positivo $AA n$ e $AA x>0$ Quindi è sempre positivo nell'intervallo che stiamo considerando. Per il numeratore bisogna risolvere:
$n^2+n(2x^2+1)+x^2-x>0$ e ottengo quindi:
$n> -x^2+1/2+sqrt(x^4+x+1/4)$ $ vv$ $n< -x^2+1/2-sqrt(x^4+x+1/4)$
Quindi (ammesso che non abbia sbagliato i conti) quando $n$ supera $-x^2+1/2+sqrt(x^4+x+1/4)$
la successione di funzioni è decrescente e pertanto per il criterio di Leibniz la serie converge puntualmente per le x positive.
Per quanto riguarda gli altri due tipi di convergenza avevo già trovato che non converge totalmente, mentre per la convergenza uniforme dovrei trovare che
$lim_(n->infty)$ sup $|sum_(k=n+1)^infty f_(k)(x)|$ ma non saprei come fare.
Effettivamente il risultato è sospetto ma da cosa si può dedurre che la serie potrebbe non convergere uniformemente?
calcolando $a_(n+1)<=a_(n)$ ossia $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) <= (n+x^2)/(x+n^2)$ ho ottenuto tale mostruosità:
$(n^2+2nx^2+n+x^2-x)/((n^2+x)(x+n^2+2n+1)) >0$
Il denominatore è positivo $AA n$ e $AA x>0$ Quindi è sempre positivo nell'intervallo che stiamo considerando. Per il numeratore bisogna risolvere:
$n^2+n(2x^2+1)+x^2-x>0$ e ottengo quindi:
$n> -x^2+1/2+sqrt(x^4+x+1/4)$ $ vv$ $n< -x^2+1/2-sqrt(x^4+x+1/4)$
Quindi (ammesso che non abbia sbagliato i conti) quando $n$ supera $-x^2+1/2+sqrt(x^4+x+1/4)$
la successione di funzioni è decrescente e pertanto per il criterio di Leibniz la serie converge puntualmente per le x positive.
Per quanto riguarda gli altri due tipi di convergenza avevo già trovato che non converge totalmente, mentre per la convergenza uniforme dovrei trovare che
$lim_(n->infty)$ sup $|sum_(k=n+1)^infty f_(k)(x)|$ ma non saprei come fare.
"dissonance":
(Questo dimostra che la serie è puntualmente convergente e suggerisce che la convergenza potrebbe non essere uniforme).
Effettivamente il risultato è sospetto ma da cosa si può dedurre che la serie potrebbe non convergere uniformemente?
Qualche commento.
1. L'espressione
\[
-x^2 + \frac12 +\sqrt{x^4 + x +\frac{1}{4}}
\]
è limitata superiormente perché è continua su tutto \(x\ge 0\) e il limite per \(x\to +\infty\) è finito (precisamente, \(\frac12\)). Quindi, detto \(M=\sup -x^2 + \frac12 +\sqrt{x^4 + x +\frac{1}{4}} \), si ha che il termine generale \(a_n(x)\) della serie di partenza verifica
\[\tag{1} a_{n+1}(x)\le a_n(x),\qquad \forall n\ge M.\]
La serie è puntualmente convergente e non c'è nessun indizio che suggerisca la mancanza di convergenza uniforme. *Se avessimo trovato* che
\[\tag{2}
a_{n+1}(x)\le a_n(x), \qquad \forall n\ge M(x), \]
dove \(M\) è una funzione di \(x\), questo avrebbe suggerito che la rapidità di convergenza dipende da \(x\), il che è un grosso indizio di mancanza di convergenza uniforme. Ma non dare troppo peso a queste cose, sono *indizi*, non dimostrazioni formali.
2. Forse era più facile considerare la funzione di due variabili
\[
f(x, y)=\frac{y+x^2}{x+y^2}, \qquad x\ge 0, y\ge 1, \]
e studiare, per \(x\) fissato, \(f(x, \cdot)\). Quindi calcolare la derivata parziale, che risulta essere
\[-{\frac {-x+{y}^{2}+2\,y{x}^{2}}{ \left( x+{y}^{2} \right) ^{2}}}
\]
e studiarne il segno. Ci sono anche qui delle difficoltà, comunque secondo il calcoletto che ho fatto si trova che \(f(x, \cdot)\) ha la derivata negativa per ogni \(y>1\), il che conferma il risultato del punto 1.
3. Per capire la convergenza uniforme dovresti andare a vedere sui tuoi appunti e sul tuo libro se si è parlato di criterio di Leibniz per le serie di funzioni. Dovrebbe essere possibile dare una versione del criterio di Leibniz che dà la convergenza uniforme.
1. L'espressione
\[
-x^2 + \frac12 +\sqrt{x^4 + x +\frac{1}{4}}
\]
è limitata superiormente perché è continua su tutto \(x\ge 0\) e il limite per \(x\to +\infty\) è finito (precisamente, \(\frac12\)). Quindi, detto \(M=\sup -x^2 + \frac12 +\sqrt{x^4 + x +\frac{1}{4}} \), si ha che il termine generale \(a_n(x)\) della serie di partenza verifica
\[\tag{1} a_{n+1}(x)\le a_n(x),\qquad \forall n\ge M.\]
La serie è puntualmente convergente e non c'è nessun indizio che suggerisca la mancanza di convergenza uniforme. *Se avessimo trovato* che
\[\tag{2}
a_{n+1}(x)\le a_n(x), \qquad \forall n\ge M(x), \]
dove \(M\) è una funzione di \(x\), questo avrebbe suggerito che la rapidità di convergenza dipende da \(x\), il che è un grosso indizio di mancanza di convergenza uniforme. Ma non dare troppo peso a queste cose, sono *indizi*, non dimostrazioni formali.
2. Forse era più facile considerare la funzione di due variabili
\[
f(x, y)=\frac{y+x^2}{x+y^2}, \qquad x\ge 0, y\ge 1, \]
e studiare, per \(x\) fissato, \(f(x, \cdot)\). Quindi calcolare la derivata parziale, che risulta essere
\[-{\frac {-x+{y}^{2}+2\,y{x}^{2}}{ \left( x+{y}^{2} \right) ^{2}}}
\]
e studiarne il segno. Ci sono anche qui delle difficoltà, comunque secondo il calcoletto che ho fatto si trova che \(f(x, \cdot)\) ha la derivata negativa per ogni \(y>1\), il che conferma il risultato del punto 1.
3. Per capire la convergenza uniforme dovresti andare a vedere sui tuoi appunti e sul tuo libro se si è parlato di criterio di Leibniz per le serie di funzioni. Dovrebbe essere possibile dare una versione del criterio di Leibniz che dà la convergenza uniforme.
Effettivamente avevo notato che con la derivata il calcolo era più facile solo che non avendo ancora affrontato le funzioni multivariabili non volevo rischiare di scrivere cavolate. Per quanto riguarda la uniforme convergenza di una serie di funzioni il prof ci ha dato solo la definizione che ho riportato prima, non ho mai sentito parlare del criterio di Leibniz per la convergenza uniforme. L'unica cosa che abbiamo visto di sfuggita è una conseguenza del criterio di Leibniz cioè che il resto della serie è minore (in valore assoluto) del primo termine trascurato, ossia:
$|sum_(K=n+1)^infty (-1)^k a_(k)| <= |a_(n+1)|$
Non so se tu intendessi questo. Comunque grazie per i chiarimenti!
$|sum_(K=n+1)^infty (-1)^k a_(k)| <= |a_(n+1)|$
Non so se tu intendessi questo. Comunque grazie per i chiarimenti!
Ottimo. Osserva che una serie converge uniformemente se e solo se il resto tende uniformemente a \(0\), questa è proprio una conseguenza della definizione di convergenza uniforme. Con il criterio che hai appena enunciato riconduci lo studio della convergenza uniforme della serie allo studio della convergenza uniforme a \(0\) del termine generale.
Quindi per provare la convergenza uniforme dovrei trovare che:
$lim_(n->infty)$ sup $|sum_(k=n+1)^infty (-1)^k (k+x^2)/(x+k^2)| = 0$. Per il teorema di Leibniz ho che:
sup $|sum_(k=n+1)^infty (-1)^k (k+x^2)/(x+k^2)| <=$ sup $|(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1)| =$ sup $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1)$
Se trovo che il $lim_(n->infty)$ sup $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1)= 0$ allora potrò dire che la serie converge uniformemente per $x>0$.
Non so se ho capito bene. È giusto quel che ho scritto?
$lim_(n->infty)$ sup $|sum_(k=n+1)^infty (-1)^k (k+x^2)/(x+k^2)| = 0$. Per il teorema di Leibniz ho che:
sup $|sum_(k=n+1)^infty (-1)^k (k+x^2)/(x+k^2)| <=$ sup $|(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1)| =$ sup $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1)$
Se trovo che il $lim_(n->infty)$ sup $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1)= 0$ allora potrò dire che la serie converge uniformemente per $x>0$.
Non so se ho capito bene. È giusto quel che ho scritto?
Si. Fai qualche conto. Puoi usare "sup" per scrivere il sup in ASCIIMathML: $"sup"_{x>0}$.
Provo a fare alcune considerazioni senza stare a calcolare la derivata ecc. per trovare il $"sup"$. La successione di funzioni
$ (n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) $ è continua e crescente $AA x>0$ e $AA n in NN$, quindi
$"sup"_(x>0)$ $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) = +infty$. Se però restringiamo l'intervallo dove cerchiamo la convergenza a
$[0,L], L>0$ allora avremo che: $"sup"_"[0,L]" $ $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) = (n+1+L^2)/(L+n^2+2n+1)$
e quindi $lim_(n->infty) (n+1+L^2)/(L+n^2+2n+1) = 0$ Quindi la serie di partenza converge uniformemente $AA$ intervallo del
tipo $[0,L]$ con $L>0$. Ho pensato giusto o dovevo procedere diversamente?
$ (n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) $ è continua e crescente $AA x>0$ e $AA n in NN$, quindi
$"sup"_(x>0)$ $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) = +infty$. Se però restringiamo l'intervallo dove cerchiamo la convergenza a
$[0,L], L>0$ allora avremo che: $"sup"_"[0,L]" $ $(n+1+x^2)/(x+n^2+2n+1) = (n+1+L^2)/(L+n^2+2n+1)$
e quindi $lim_(n->infty) (n+1+L^2)/(L+n^2+2n+1) = 0$ Quindi la serie di partenza converge uniformemente $AA$ intervallo del
tipo $[0,L]$ con $L>0$. Ho pensato giusto o dovevo procedere diversamente?
Ok, ma togli $L$ dal denominatore:
\[
\sup_{x\in[0, L]} \frac{n+1+x^2}{x+n^2 +2n +1} \le \frac{n+1+L^2}{n^2+2n+1}.\]
Al numeratore usi \(x^2\le L^2\), al denominatore \(x\ge 0\).
\[
\sup_{x\in[0, L]} \frac{n+1+x^2}{x+n^2 +2n +1} \le \frac{n+1+L^2}{n^2+2n+1}.\]
Al numeratore usi \(x^2\le L^2\), al denominatore \(x\ge 0\).
Giusto! Grazie per avermi aiutato!
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