Convergenza totale e uniforme
Sappiamo che la convergenza totale implica la convergenza uniforme per serie di funzioni, ma non vale ovviamente il viceversa. Nel caso di funzioni definite su un compatto, la convergenza totale di una serie è equivalente a quella uniforme? In altre parole su un compatto la convergenza uniforme implica quella totale? Perché?
Risposte
no, non direi
prendi [0,1] e, per ogni $n$, dividilo in $2^n$ intervalli
sempre per ogni $n$ considera le $2^n$ funzioni che valgono $\frac{1}{2^n}$
raccatta tutte assieme queste funzioni per $n = 1$ (una funzione), $n= 2$ (due funzioni) ,$n= 3$ ( 4 funzioni), etc.
mi sembra che questa serie così ottenuta converga uniformemente a 1, ma non converga totalmente
non sono certo al 100% che funga, ma l'idea da sfruttare è comunque questa: bisogna "fregare" la maggiorazione da fare per la convergenza totale, forzando la maggiorazione con un valore che deve valere per tutto l'intervallo, mentre la funzione vale zero su buona parte di questo
non vedo difficoltà a far fungere questa idea anche per funzioni continue o anche derivabili (smussando quelle usate sopra), ma ovviamente vanno fatti i conti per bene
prendi [0,1] e, per ogni $n$, dividilo in $2^n$ intervalli
sempre per ogni $n$ considera le $2^n$ funzioni che valgono $\frac{1}{2^n}$
raccatta tutte assieme queste funzioni per $n = 1$ (una funzione), $n= 2$ (due funzioni) ,$n= 3$ ( 4 funzioni), etc.
mi sembra che questa serie così ottenuta converga uniformemente a 1, ma non converga totalmente
non sono certo al 100% che funga, ma l'idea da sfruttare è comunque questa: bisogna "fregare" la maggiorazione da fare per la convergenza totale, forzando la maggiorazione con un valore che deve valere per tutto l'intervallo, mentre la funzione vale zero su buona parte di questo
non vedo difficoltà a far fungere questa idea anche per funzioni continue o anche derivabili (smussando quelle usate sopra), ma ovviamente vanno fatti i conti per bene
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo