Convergenza totale di una serie di funzioni
Esercizio: Dire se la serie $sum_(k = 0)^(+oo) sqrt( 9^k + x^k ) - 3^k$ è totalmente convergente sull'intervallo $[-2,2]$.
Svolgimento:
Indichiamo per comodità $f_k (x) = sqrt( 9^k + x^k ) - 3^k$
Io ho ragionato come segue; poiché $ (f_k (x))/(x/3)^k -> 1/2$ per $k -> +oo$ e per $x in [-2 , 2]$ ($x != 0$), allora, fissato $delta > 0$ "abbastanza piccolo",
si ha che $(f_k (x))/(x/3)^k * (x/3)^k/(x/(3 - delta))^k = (f_k (x))/(x/3)^k * (( 3 - delta )/3)^k = (f_k (x))/(x/3)^k * (1 - delta/3)^k -> 1/2 * 0$ per $k -> +oo$. Ovvero:
Fissato $epsilon > 0 , EE k_0 in NN : AA k >= k_0$ risulti $| (f_k (x))/(x/(3 - delta))^k| < epsilon$ e, per $x != 0$, si ha:
$"sup"_(x in [-2,2]) | f_k (x) | < epsilon (x/(3 - delta))^k <= epsilon (2/(3 - delta))^k$ .
Di conseguenza, essendo $epsilon * sum_(k= 0)^(+oo) (2/(3 - delta))^k < +oo$, la serie di funzioni converge totalmente su $[-2,2]$.
E' giusto?
Svolgimento:
Indichiamo per comodità $f_k (x) = sqrt( 9^k + x^k ) - 3^k$
Io ho ragionato come segue; poiché $ (f_k (x))/(x/3)^k -> 1/2$ per $k -> +oo$ e per $x in [-2 , 2]$ ($x != 0$), allora, fissato $delta > 0$ "abbastanza piccolo",
si ha che $(f_k (x))/(x/3)^k * (x/3)^k/(x/(3 - delta))^k = (f_k (x))/(x/3)^k * (( 3 - delta )/3)^k = (f_k (x))/(x/3)^k * (1 - delta/3)^k -> 1/2 * 0$ per $k -> +oo$. Ovvero:
Fissato $epsilon > 0 , EE k_0 in NN : AA k >= k_0$ risulti $| (f_k (x))/(x/(3 - delta))^k| < epsilon$ e, per $x != 0$, si ha:
$"sup"_(x in [-2,2]) | f_k (x) | < epsilon (x/(3 - delta))^k <= epsilon (2/(3 - delta))^k$ .
Di conseguenza, essendo $epsilon * sum_(k= 0)^(+oo) (2/(3 - delta))^k < +oo$, la serie di funzioni converge totalmente su $[-2,2]$.
E' giusto?
Risposte
Altrimenti... Per il teorema di Weierstrass esiste il massimo di $f_k(x)$ nell'intervallo $[-2,2]$.
Derivando $f'_k (x) = k * x^(k-1)/(2 * sqrt( 9^k + x^k )) = 0$, si trova $x = 0$. Ed $f_k (0) = 0$. Agli estremi, invece:
$f_k (-2) = sqrt( 9^k + (-2)^k ) - 3^k$
$f_k (2) = sqrt( 9^k + 2^k ) - 3^k = "max"_( x in [-2,2]) | f_k (x) | $
E si ha che $sum_(k =0)^(+oo) (sqrt( 9^k + 2^k ) - 3^k ) < +oo$, infatti:
$ 3^k * (sqrt( 1 + (2/9)^k ) - 1) sim 1/2 * 3^k * (2/9)^k = 1/2 * (2/3)^k$ e $1/2 * sum (2/3)^k < +oo$ in quanto serie geometrica di ragione $2/3$...
In ogni caso mi interessava sapere se il ragionamento fatto nel primo post era corretto.
Derivando $f'_k (x) = k * x^(k-1)/(2 * sqrt( 9^k + x^k )) = 0$, si trova $x = 0$. Ed $f_k (0) = 0$. Agli estremi, invece:
$f_k (-2) = sqrt( 9^k + (-2)^k ) - 3^k$
$f_k (2) = sqrt( 9^k + 2^k ) - 3^k = "max"_( x in [-2,2]) | f_k (x) | $
E si ha che $sum_(k =0)^(+oo) (sqrt( 9^k + 2^k ) - 3^k ) < +oo$, infatti:
$ 3^k * (sqrt( 1 + (2/9)^k ) - 1) sim 1/2 * 3^k * (2/9)^k = 1/2 * (2/3)^k$ e $1/2 * sum (2/3)^k < +oo$ in quanto serie geometrica di ragione $2/3$...
In ogni caso mi interessava sapere se il ragionamento fatto nel primo post era corretto.
"Seneca":
Fissato $epsilon > 0 , EE k_0 in NN : AA k >= k_0$ risulti $| (f_k (x))/(x/(3 - delta))^k| < epsilon$ e, per $x != 0$, si ha:
$"sup"_(x in [-2,2]) | f_k (x) | < epsilon (x/(3 - delta))^k <= epsilon (2/(3 - delta))^k$ .
Posso insinuare un dubbio? Prima stabilisci una disuguaglianza valida per $ k>k_0 $ poi però la usi per un $ k $ generico... si può fare?
Il fatto è che devo dimostrare che quel superiore tende a $0$ per $k -> +oo$.. Quindi non credo ci siano problemi se ragiono definitivamente...
Pure secondo me non ci sono problemi su questo. Però non ti so dire se il resto del ragionamento sia corretto o no, non l'ho visto a fondo.
Così a occhio quel $k_0$ dovrebbe dipendere da $x$, inficiando la dimostrazione.
Grazie a tutti per le risposte...
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