Convergenza successioni di funzioni (esercizi svolti)
Ciao a tutti. Vorrei che mi confermaste la correttezza di alcuni esercizi svolti (eventualmente proporre anche soluzioni più comode). Per ora posto il primo.
Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente successione di funzioni:
$f_n (x) = n[sqrt(x + 1/n) -sqrtx]:$ $[0,+infty[ -> RR$
Soluzione:
$f_n (0) = sqrtn -> +infty$ per $n->+infty$
Per $x>0$: $f_n (x) = n sqrtx [sqrt(1+ 1/(nx)) -1] -> (n sqrtx)/(2nx) = 1/(2 sqrtx)$
La funzione limite è quindi: $f(x)=1/(2 sqrtx):$ $]0,+infty[ -> RR$
Ora sviluppo in serie di Taylor con resto di Lagrange intorno al punto $x=+infty$:*
$f_n (x)= n sqrtx [1 + 1/(2nx) - ((1+c_n)^(-3/2))/(8 n^2 x^2) -1] <= (n sqrtx)/(2nx) =1/(2 sqrtx) = f(x)$
Definisco:
$delta_n (x) = |f_n (x) -f(x)|=f(x)- f_n (x) = 1/(2 sqrtx) - n sqrt(x + 1/n) + n sqrtx$
Studiando la derivata $delta'_n (x)$, risolvendo una disequazione irrazionale, trovo che la funzione $delta_n (x)$ è sempre decrescente, per cui in un intervallo del tipo $[a,+infty [ $ con $a>0$:
$max delta_n (x) = delta_n (a) = 1/(2 sqrta) - n sqrta (sqrt(1+ 1/(an)) -1) ->0$ per $n->+infty$.
La convergenza è quindi uniforme su intervalli del tipo $[a, +infty [ $ con $a>0$.
*Questo è il passaggio più dubbio. Sottointendo che ci sarebbe da fare un cambio di variabile, ed un'estensione continua, dato che non ha senso parlare di polinomio centrato in $x=+infty$ e che $1/(nx) != 0$ $AAx$.
Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente successione di funzioni:
$f_n (x) = n[sqrt(x + 1/n) -sqrtx]:$ $[0,+infty[ -> RR$
Soluzione:
$f_n (0) = sqrtn -> +infty$ per $n->+infty$
Per $x>0$: $f_n (x) = n sqrtx [sqrt(1+ 1/(nx)) -1] -> (n sqrtx)/(2nx) = 1/(2 sqrtx)$
La funzione limite è quindi: $f(x)=1/(2 sqrtx):$ $]0,+infty[ -> RR$
Ora sviluppo in serie di Taylor con resto di Lagrange intorno al punto $x=+infty$:*
$f_n (x)= n sqrtx [1 + 1/(2nx) - ((1+c_n)^(-3/2))/(8 n^2 x^2) -1] <= (n sqrtx)/(2nx) =1/(2 sqrtx) = f(x)$
Definisco:
$delta_n (x) = |f_n (x) -f(x)|=f(x)- f_n (x) = 1/(2 sqrtx) - n sqrt(x + 1/n) + n sqrtx$
Studiando la derivata $delta'_n (x)$, risolvendo una disequazione irrazionale, trovo che la funzione $delta_n (x)$ è sempre decrescente, per cui in un intervallo del tipo $[a,+infty [ $ con $a>0$:
$max delta_n (x) = delta_n (a) = 1/(2 sqrta) - n sqrta (sqrt(1+ 1/(an)) -1) ->0$ per $n->+infty$.
La convergenza è quindi uniforme su intervalli del tipo $[a, +infty [ $ con $a>0$.
*Questo è il passaggio più dubbio. Sottointendo che ci sarebbe da fare un cambio di variabile, ed un'estensione continua, dato che non ha senso parlare di polinomio centrato in $x=+infty$ e che $1/(nx) != 0$ $AAx$.
Risposte
Aggiungo un altro esercizio, un po' più concettuale, e meno calcoloso.
Date le funzioni:
$g_n (x)=x/(root(3)(|x|^3 + (n+1)^(-2))):$ $[-1,1]->RR$, $AAninNN$
calcolare, se esistono, i limiti seguenti:
$lim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} g_n (x)dx$
$lim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} |g_n (x)|dx$
Soluzione:
La funzione limite è $g(x)=sgnx$, che è discontinua in $x=0$, per cui la convergenza non è sicuramente uniforme nell'intervallo di definizione.
Tuttavia se considero gli intervalli $[-1,-epsilon]$ e $[epsilon,1]$, tutte le funzioni della successione sono continue e la funzione limite è anche continua, inoltre la successione di funzioni è decrescente ($g_n (x) > g_(n+1) (x)$) nel primo intervallo, crescente ($g_n (x) < g_(n+1) (x)$) nel secondo intervallo. In entrambi gli intervalli si ha quindi convergenza uniforme, per il teorema di Dini, ed è possibile applicare lo scambio limite integrale. Dunque:
$|lim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} g_n (x)dx |= |lim_{n \to \infty} int_{-1}^{-epsilon} g_n (x)dx + lim_{n \to \infty} int_{-epsilon}^{epsilon'} g_n (x)dx + lim_{n \to \infty} int_{epsilon'}^{1} g_n (x)dx| $
$=|(-1)(-epsilon+1) + 1(1-epsilon') + lim_{n \to \infty} int_{-epsilon}^{epsilon'} g_n (x)dx | $
$<= |epsilon-epsilon'| + 1*|epsilon+epsilon'|$
Per cui:
$EElim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} g_n (x)dx =0$
Con un procedimento analogo otterrei che:
$EElim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} |g_n (x)|dx =2$
Il procedimento è corretto?
Date le funzioni:
$g_n (x)=x/(root(3)(|x|^3 + (n+1)^(-2))):$ $[-1,1]->RR$, $AAninNN$
calcolare, se esistono, i limiti seguenti:
$lim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} g_n (x)dx$
$lim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} |g_n (x)|dx$
Soluzione:
La funzione limite è $g(x)=sgnx$, che è discontinua in $x=0$, per cui la convergenza non è sicuramente uniforme nell'intervallo di definizione.
Tuttavia se considero gli intervalli $[-1,-epsilon]$ e $[epsilon,1]$, tutte le funzioni della successione sono continue e la funzione limite è anche continua, inoltre la successione di funzioni è decrescente ($g_n (x) > g_(n+1) (x)$) nel primo intervallo, crescente ($g_n (x) < g_(n+1) (x)$) nel secondo intervallo. In entrambi gli intervalli si ha quindi convergenza uniforme, per il teorema di Dini, ed è possibile applicare lo scambio limite integrale. Dunque:
$|lim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} g_n (x)dx |= |lim_{n \to \infty} int_{-1}^{-epsilon} g_n (x)dx + lim_{n \to \infty} int_{-epsilon}^{epsilon'} g_n (x)dx + lim_{n \to \infty} int_{epsilon'}^{1} g_n (x)dx| $
$=|(-1)(-epsilon+1) + 1(1-epsilon') + lim_{n \to \infty} int_{-epsilon}^{epsilon'} g_n (x)dx | $
$<= |epsilon-epsilon'| + 1*|epsilon+epsilon'|$
Per cui:
$EElim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} g_n (x)dx =0$
Con un procedimento analogo otterrei che:
$EElim_{n \to \infty} int_{-1}^{1} |g_n (x)|dx =2$
Il procedimento è corretto?
Up. E aggiungo un terzo esercizio:
Siano $g$ e $g_n$ funzioni $RR->RR$, $n in NN$, tali che la successione$g_n$ converga uniformemente a $g$ in $RR$. Sia un'altra funzione arbitraria $f:RR->RR$. Dire sotto quale delle seguenti ipotesi la successione $f(g_n)$ converge uniformemente alla funzione $f(g)$.
1)$f$ continua
2)$f$ uniformemente continua
3)$f$ continua ed $EE M>0: |g(x)|<=M, AAx in RR$
Soluzione:
Sicuramente sotto l'ipotesi 2):
$AAepsilon>0, EEnu inNN:n>=nu=>|g_n (x) -g(x)|<=epsilon, AAx inRR$
$AAepsilon'>0, EEdelta>0: |y_1-y_2|<=delta =>|f(y_1)-f(y_2)|<=epsilon', AAy_1 ,y_2 inRR$
Per ottenere la tesi basta regolare $epsilon<=delta$ e sostituire $y_1 =g_n (x)$ e $y_2 =g(x)$.
L'ipotesi di sola continuità di $f$ sembra invece non sufficiente.
L'ipotesi 3) è invece anch'essa sufficiente, poichè grazie ad essa si riesce a limitare la scelta di $y_1$ e $y_2$ entro un intervallo compatto, dove la $f$ è uniformemente continua per il teorema di Heine Cantor.
Siano $g$ e $g_n$ funzioni $RR->RR$, $n in NN$, tali che la successione$g_n$ converga uniformemente a $g$ in $RR$. Sia un'altra funzione arbitraria $f:RR->RR$. Dire sotto quale delle seguenti ipotesi la successione $f(g_n)$ converge uniformemente alla funzione $f(g)$.
1)$f$ continua
2)$f$ uniformemente continua
3)$f$ continua ed $EE M>0: |g(x)|<=M, AAx in RR$
Soluzione:
Sicuramente sotto l'ipotesi 2):
$AAepsilon>0, EEnu inNN:n>=nu=>|g_n (x) -g(x)|<=epsilon, AAx inRR$
$AAepsilon'>0, EEdelta>0: |y_1-y_2|<=delta =>|f(y_1)-f(y_2)|<=epsilon', AAy_1 ,y_2 inRR$
Per ottenere la tesi basta regolare $epsilon<=delta$ e sostituire $y_1 =g_n (x)$ e $y_2 =g(x)$.
L'ipotesi di sola continuità di $f$ sembra invece non sufficiente.
L'ipotesi 3) è invece anch'essa sufficiente, poichè grazie ad essa si riesce a limitare la scelta di $y_1$ e $y_2$ entro un intervallo compatto, dove la $f$ è uniformemente continua per il teorema di Heine Cantor.
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