Convergenza successioni di funzioni
salve a tutti.
ho una successione di funzioni $fn=nxe^(-nx^2)$ definita da $RR$ $\to$ $RR$ e devo provare che converge uniformemente in ogni intervallo $[r,+\infty[$ con $r<0$, sapreste aiutarmi??
ho una successione di funzioni $fn=nxe^(-nx^2)$ definita da $RR$ $\to$ $RR$ e devo provare che converge uniformemente in ogni intervallo $[r,+\infty[$ con $r<0$, sapreste aiutarmi??
Risposte
Sicuro che converge uniformemente?... hai che $\forall n \in NN, f_n(1/sqrt(n)) = sqrt(n)/e$, e in effetti se provi a graficarti l'andamento della successione, anche solo limitandosi alle $x > 0$, hai che il picco diventa sempre più stretto e schiacciato sull'origine ma anche sempre più alto!
EDIT:
A meno che tu non intendessi $r > 0$, e mi sa che è così (non ci avevo pensato prima
).
In questo caso bisogna tradurre in matematichese ciò che avevo detto a parole prima... vediamo: se calcoli la derivata e imponi che sia strettamente negativa ottieni facilmente che questo è verificato per $n > 1/(2x^2)$, ed è chiaro che se questa condizione è vera per $x_0$ sarà vera anche per ogni $x \geq x_0$. Detto questo, fissati $r>0, \epsilon > 0$, vediamo che le $f_n$ saranno monotone decrescenti nel loro dominio (i.e. in $[r,+\infty]$) per ogni $n > 1/(2r^2)$. Quindi hai che $\forall n>1/(2r^2), f_n(x) \leq f_n(r)$, per cui se dimostri che $\forall \epsilon > 0, EE \bar{n} > 1/(2r^2) | n>\bar{n} => f_n(r) < \epsilon$ hai concluso. Ma questo è pressocché immediato, e quindi hai la tesi.
Sicuramente ci saranno modi più eleganti, per i quali rimando a matematici più esperti e sapienti di me
EDIT:
A meno che tu non intendessi $r > 0$, e mi sa che è così (non ci avevo pensato prima
).In questo caso bisogna tradurre in matematichese ciò che avevo detto a parole prima... vediamo: se calcoli la derivata e imponi che sia strettamente negativa ottieni facilmente che questo è verificato per $n > 1/(2x^2)$, ed è chiaro che se questa condizione è vera per $x_0$ sarà vera anche per ogni $x \geq x_0$. Detto questo, fissati $r>0, \epsilon > 0$, vediamo che le $f_n$ saranno monotone decrescenti nel loro dominio (i.e. in $[r,+\infty]$) per ogni $n > 1/(2r^2)$. Quindi hai che $\forall n>1/(2r^2), f_n(x) \leq f_n(r)$, per cui se dimostri che $\forall \epsilon > 0, EE \bar{n} > 1/(2r^2) | n>\bar{n} => f_n(r) < \epsilon$ hai concluso. Ma questo è pressocché immediato, e quindi hai la tesi.
Sicuramente ci saranno modi più eleganti, per i quali rimando a matematici più esperti e sapienti di me
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm praticamente hai utilizzato la definizio di convergenza uniforme...
noi invece trovavamo l'estremo superiore e se il suo limite è nullo allora converge uniformemente...
noi invece trovavamo l'estremo superiore e se il suo limite è nullo allora converge uniformemente...
Come ti ha già detto Kyl, se $r\le 0$ la convergenza non è uniforme.
Lo è invece se $r>0$; infatti $f_n$ è una funzione positiva e monotona decrescente in \( [ 1/\sqrt{n}, +\infty) \), per cui hai, definitivamente,
\[ \sup_{x\geq r} |f_n(x) - f(x) | = \sup_{x\geq r} f_n(x) = f_n(r) = nr e^{-nr^2} \to 0\ \text{per}\ n\to +\infty,\]
dove \( f\equiv 0\) è il limite puntuale.
Lo è invece se $r>0$; infatti $f_n$ è una funzione positiva e monotona decrescente in \( [ 1/\sqrt{n}, +\infty) \), per cui hai, definitivamente,
\[ \sup_{x\geq r} |f_n(x) - f(x) | = \sup_{x\geq r} f_n(x) = f_n(r) = nr e^{-nr^2} \to 0\ \text{per}\ n\to +\infty,\]
dove \( f\equiv 0\) è il limite puntuale.
Scusa se continuo a insistere, ma quindi noi consideriamo un r> 1/radice di n, perché altrimenti la funzione è crescente, il massimo risulterebbe 1/radice di n e non ci sarebbe più convergenza uniforme??
(scusa se ti rispondo così ma son collegata tramite un vecchio telefono e mi viene un pò difficoltoso
)
(scusa se ti rispondo così ma son collegata tramite un vecchio telefono e mi viene un pò difficoltoso
)
Poiché devi calcolare
\[ \lim_{n\to +\infty} \sup_{x\geq r} |f_n(x) -f(x)| \]
è sufficiente valutare (o stimare) il \(\sup\) definitivamente in $n$.
Se $r>0$, il massimo in $[0,+\infty)$ della funzione cade a sinistra di $r$, per $n$ abbastanza grande; dunque, per tali $n$, il massimo di $f_n$ in $[r, +\infty)$ è raggiunto in $r$.
Se invece $r=0$ (oppure $r<0$), il massimo viene raggiunto in $1/\sqrt{n}$.
(La cosa migliore per capire è fare un disegno.)
\[ \lim_{n\to +\infty} \sup_{x\geq r} |f_n(x) -f(x)| \]
è sufficiente valutare (o stimare) il \(\sup\) definitivamente in $n$.
Se $r>0$, il massimo in $[0,+\infty)$ della funzione cade a sinistra di $r$, per $n$ abbastanza grande; dunque, per tali $n$, il massimo di $f_n$ in $[r, +\infty)$ è raggiunto in $r$.
Se invece $r=0$ (oppure $r<0$), il massimo viene raggiunto in $1/\sqrt{n}$.
(La cosa migliore per capire è fare un disegno.)
grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo